Решение задачи: треугольник ABC, вычисление стороны AB

Вот решение задачи, оформленное так, чтобы было удобно переписать в тетрадь школьнику: Задача 4. Лёгкая. Треугольник. Условие: В треугольнике \(ABC\) угол \(C\) равен \(90^\circ\), \(AC = 12\), \(\text{tg } A = \frac{4\sqrt{7}}{3}\). Найдите \(AB\). Решение: 1. Поскольку угол \(C\) в треугольнике \(ABC\) равен \(90^\circ\), это означает, что треугольник \(ABC\) является прямоугольным. 2. В прямоугольном треугольнике тангенс острого угла определяется как отношение противолежащего катета к прилежащему катету. Для угла \(A\): Противолежащий катет к углу \(A\) — это сторона \(BC\). Прилежащий катет к углу \(A\) — это сторона \(AC\). 3. Запишем определение тангенса для угла \(A\): \[\text{tg } A = \frac{BC}{AC}\] 4. Подставим известные значения из условия задачи: \[\frac{4\sqrt{7}}{3} = \frac{BC}{12}\] 5. Чтобы найти \(BC\), выразим его из этого уравнения: \[BC = \frac{4\sqrt{7}}{3} \cdot 12\] \[BC = 4\sqrt{7} \cdot 4\] \[BC = 16\sqrt{7}\] Итак, длина катета \(BC\) равна \(16\sqrt{7}\). 6. Теперь, когда мы знаем длины двух катетов прямоугольного треугольника (\(AC = 12\) и \(BC = 16\sqrt{7}\)), мы можем найти длину гипотенузы \(AB\) с помощью теоремы Пифагора. Теорема Пифагора гласит: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. \[AB^2 = AC^2 + BC^2\] 7. Подставим известные значения: \[AB^2 = 12^2 + (16\sqrt{7})^2\] 8. Вычислим квадраты: \[12^2 = 144\] \[(16\sqrt{7})^2 = 16^2 \cdot (\sqrt{7})^2 = 256 \cdot 7 = 1792\] 9. Подставим эти значения обратно в уравнение: \[AB^2 = 144 + 1792\] \[AB^2 = 1936\] 10. Чтобы найти \(AB\), извлечем квадратный корень из \(1936\): \[AB = \sqrt{1936}\] \[AB = 44\] 11. Длина гипотенузы \(AB\) равна \(44\). Ответ: \(44\)