Решение квадратных уравнений (8 класс) с подробным объяснением

Хорошо, я решу все квадратные уравнения, представленные на изображении. Буду оформлять решения так, чтобы школьнику было удобно переписать их в тетрадь. --- Квадратные уравнения (8 класс) Решение уравнений: 15) \(x^2 + 2x = 16x - 49\) Перенесем все члены в левую часть уравнения: \(x^2 + 2x - 16x + 49 = 0\) Приведем подобные члены: \(x^2 - 14x + 49 = 0\) Это квадратное уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a=1\), \(b=-14\), \(c=49\). Найдем дискриминант по формуле \(D = b^2 - 4ac\): \(D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 49\) \(D = 196 - 196\) \(D = 0\) Так как \(D = 0\), уравнение имеет один корень (или два совпадающих корня), который находится по формуле \(x = \frac{-b}{2a}\): \(x = \frac{-(-14)}{2 \cdot 1}\) \(x = \frac{14}{2}\) \(x = 7\) Ответ: \(x = 7\) 16) \(5x^2 + 1 = 6x - 4x^2\) Перенесем все члены в левую часть уравнения: \(5x^2 + 4x^2 - 6x + 1 = 0\) Приведем подобные члены: \(9x^2 - 6x + 1 = 0\) Это квадратное уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a=9\), \(b=-6\), \(c=1\). Найдем дискриминант по формуле \(D = b^2 - 4ac\): \(D = (-6)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 1\) \(D = 36 - 36\) \(D = 0\) Так как \(D = 0\), уравнение имеет один корень, который находится по формуле \(x = \frac{-b}{2a}\): \(x = \frac{-(-6)}{2 \cdot 9}\) \(x = \frac{6}{18}\) \(x = \frac{1}{3}\) Ответ: \(x = \frac{1}{3}\) 17) \(x(x + 2) = 3\) Раскроем скобки: \(x^2 + 2x = 3\) Перенесем 3 в левую часть: \(x^2 + 2x - 3 = 0\) Это квадратное уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a=1\), \(b=2\), \(c=-3\). Найдем дискриминант по формуле \(D = b^2 - 4ac\): \(D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)\) \(D = 4 + 12\) \(D = 16\) Так как \(D > 0\), уравнение имеет два различных корня, которые находятся по формуле \(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\): \(x_1 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1\) \(x_2 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 4}{2} = \frac{-6}{2} = -3\) Ответ: \(x_1 = 1\), \(x_2 = -3\) 18) \(x(x - 5) = -4\) Раскроем скобки: \(x^2 - 5x = -4\) Перенесем -4 в левую часть: \(x^2 - 5x + 4 = 0\) Это квадратное уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a=1\), \(b=-5\), \(c=4\). Найдем дискриминант по формуле \(D = b^2 - 4ac\): \(D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4\) \(D = 25 - 16\) \(D = 9\) Так как \(D > 0\), уравнение имеет два различных корня, которые находятся по формуле \(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\): \(x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 3}{2} = \frac{8}{2} = 4\) \(x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 3}{2} = \frac{2}{2} = 1\) Ответ: \(x_1 = 4\), \(x_2 = 1\) 19) \(x^2 + 3 = 3 - x\) Перенесем все члены в левую часть уравнения: \(x^2 + x + 3 - 3 = 0\) Приведем подобные члены: \(x^2 + x = 0\) Это неполное квадратное уравнение. Вынесем \(x\) за скобки: \(x(x + 1) = 0\) Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: \(x = 0\) или \(x + 1 = 0\) \(x = 0\) или \(x = -1\) Ответ: \(x_1 = 0\), \(x_2 = -1\) 20) \(5x^2 - 7x + 2 = 0\) Это квадратное уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a=5\), \(b=-7\), \(c=2\). Найдем дискриминант по формуле \(D = b^2 - 4ac\): \(D = (-7)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 2\) \(D = 49 - 40\) \(D = 9\) Так как \(D > 0\), уравнение имеет два различных корня, которые находятся по формуле \(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\): \(x_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{9}}{2 \cdot 5} = \frac{7 + 3}{10} = \frac{10}{10} = 1\) \(x_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{9}}{2 \cdot 5} = \frac{7 - 3}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}\) Ответ: \(x_1 = 1\), \(x_2 = \frac{2}{5}\) 21) \(2x^2 - 7x + 3 = 0\) Это квадратное уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a=2\), \(b=-7\), \(c=3\). Найдем дискриминант по формуле \(D = b^2 - 4ac\): \(D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3\) \(D = 49 - 24\) \(D = 25\) Так как \(D > 0\), уравнение имеет два различных корня, которые находятся по формуле \(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\): \(x_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{7 + 5}{4} = \frac{12}{4} = 3\) \(x_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{7 - 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\) Ответ: \(x_1 = 3\), \(x_2 = \frac{1}{2}\) 22) \(5x^2 - 3x - 2 = 0\) Это квадратное уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a=5\), \(b=-3\), \(c=-2\). Найдем дискриминант по формуле \(D = b^2 - 4ac\): \(D = (-3)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2)\) \(D = 9 + 40\) \(D = 49\) Так как \(D > 0\), уравнение имеет два различных корня, которые находятся по формуле \(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\): \(x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{49}}{2 \cdot 5} = \frac{3 + 7}{10} = \frac{10}{10} = 1\) \(x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{49}}{2 \cdot 5} = \frac{3 - 7}{10} = \frac{-4}{10} = -\frac{2}{5}\) Ответ: \(x_1 = 1\), \(x_2 = -\frac{2}{5}\) 23) \(2x^2 + 3 = 3 - 7x\) Перенесем все члены в левую часть уравнения: \(2x^2 + 7x + 3 - 3 = 0\) Приведем подобные члены: \(2x^2 + 7x = 0\) Это неполное квадратное уравнение. Вынесем \(x\) за скобки: \(x(2x + 7) = 0\) Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: \(x = 0\) или \(2x + 7 = 0\) \(x = 0\) или \(2x = -7\) \(x = 0\) или \(x = -\frac{7}{2}\) Ответ: \(x_1 = 0\), \(x_2 = -\frac{7}{2}\) 24) \(x(x - 4) = -3\) Раскроем скобки: \(x^2 - 4x = -3\) Перенесем -3 в левую часть: \(x^2 - 4x + 3 = 0\) Это квадратное уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a=1\), \(b=-4\), \(c=3\). Найдем дискриминант по формуле \(D = b^2 - 4ac\): \(D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3\) \(D = 16 - 12\) \(D = 4\) Так как \(D > 0\), уравнение имеет два различных корня, которые находятся по формуле \(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\): \(x_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 2}{2} = \frac{6}{2} = 3\) \(x_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 2}{2} = \frac{2}{2} = 1\) Ответ: \(x_1 = 3\), \(x_2 = 1\) 25) \(x(x + 3) = 4\) Раскроем скобки: \(x^2 + 3x = 4\) Перенесем 4 в левую часть: \(x^2 + 3x - 4 = 0\) Это квадратное уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a=1\), \(b=3\), \(c=-4\). Найдем дискриминант по формуле \(D = b^2 - 4ac\): \(D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4)\) \(D = 9 + 16\) \(D = 25\) Так как \(D > 0\), уравнение имеет два различных корня, которые находятся по формуле \(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\): \(x_1 = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 5}{2} = \frac{2}{2} = 1\) \(x_2 = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 5}{2} = \frac{-8}{2} = -4\) Ответ: \(x_1 = 1\), \(x_2 = -4\) 26) \(x^2 + 2 = x + 2\) Перенесем все члены в левую часть уравнения: \(x^2 - x + 2 - 2 = 0\) Приведем подобные члены: \(x^2 - x = 0\) Это неполное квадратное уравнение. Вынесем \(x\) за скобки: \(x(x - 1) = 0\) Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: \(x = 0\) или \(x - 1 = 0\) \(x = 0\) или \(x = 1\) Ответ: \(x_1 = 0\), \(x_2 = 1\) 27) \(3x^2 + 9 = 12x - x^2\) Перенесем все члены в левую часть уравнения: \(3x^2 + x^2 - 12x + 9 = 0\) Приведем подобные члены: \(4x^2 - 12x + 9 = 0\) Это квадратное уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a=4\), \(b=-12\), \(c=9\). Найдем дискриминант по формуле \(D = b^2 - 4ac\): \(D = (-12)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9\) \(D = 144 - 144\) \(D = 0\) Так как \(D = 0\), уравнение имеет один корень, который находится по формуле \(x = \frac{-b}{2a}\): \(x = \frac{-(-12)}{2 \cdot 4}\) \(x = \frac{12}{8}\) \(x = \frac{3}{2}\) Ответ: \(x = \frac{3}{2}\) 28) \(x^2 + 4 = 5x\) Перенесем \(5x\) в левую часть уравнения: \(x^2 - 5x + 4 = 0\) Это квадратное уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a=1\), \(b=-5\), \(c=4\). Найдем дискриминант по формуле \(D = b^2 - 4ac\): \(D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4\) \(D = 25 - 16\) \(D = 9\) Так как \(D > 0\), уравнение имеет два различных корня, которые находятся по формуле \(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\): \(x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 3}{2} = \frac{8}{2} = 4\) \(x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 3}{2} = \frac{2}{2} = 1\) Ответ: \(x_1 = 4\), \(x_2 = 1\) 29) \(2x^2 - 5x + 3 = 0\) Это квадратное уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a=2\), \(b=-5\), \(c=3\). Найдем дискриминант по формуле \(D = b^2 - 4ac\): \(D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3\) \(D = 25 - 24\) \(D = 1\) Так как \(D > 0\), уравнение имеет два различных корня, которые находятся по формуле \(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\): \(x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 1}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}\) \(x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 1}{4} = \frac{4}{4} = 1\) Ответ: \(x_1 = \frac{3}{2}\), \(x_2 = 1\) 30) \(x^2 + 3x + 2 = 0\) Это квадратное уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a=1\), \(b=3\), \(c=2\). Найдем дискриминант по формуле \(D = b^2 - 4ac\): \(D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2\) \(D = 9 - 8\) \(D = 1\) Так как \(D > 0\), уравнение имеет два различных корня, которые находятся по формуле \(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\): \(x_1 = \frac{-3 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 1}{2} = \frac{-2}{2} = -1\) \(x_2 = \frac{-3 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 1}{2} = \frac{-4}{2} = -2\) Ответ: \(x_1 = -1\), \(x_2 = -2\) 31) \(2x^2 - 9x + 4 = 0\) Это квадратное уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a=2\), \(b=-9\), \(c=4\). Найдем дискриминант по формуле \(D = b^2 - 4ac\): \(D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4\) \(D = 81 - 32\) \(D = 49\) Так как \(D > 0\), уравнение имеет два различных корня, которые находятся по формуле \(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\): \(x_1 = \frac{-(-9) + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{9 + 7}{4} = \frac{16}{4} = 4\) \(x_2 = \frac{-(-9) - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{9 - 7}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\) Ответ: \(x_1 = 4\), \(x_2 = \frac{1}{2}\) 32) \(3x^2 + 8x - 3 = 0\) Это квадратное уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a=3\), \(b=8\), \(c=-3\). Найдем дискриминант по формуле \(D = b^2 - 4ac\): \(D = 8^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3)\) \(D = 64 + 36\) \(D = 100\) Так как \(D > 0\), уравнение имеет два различных корня, которые находятся по формуле \(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\): \(x_1 = \frac{-8 + \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{-8 + 10}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\) \(x_2 = \frac{-8 - \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{-8 - 10}{6} = \frac{-18}{6} = -3\) Ответ: \(x_1 = \frac{1}{3}\), \(x_2 = -3\) 33) \(-x^2 + 7x - 10 = 0\) Умножим уравнение на -1, чтобы коэффициент при \(x^2\) стал положительным: \(x^2 - 7x + 10 = 0\) Это квадратное уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a=1\), \(b=-7\), \(c=10\). Найдем дискриминант по формуле \(D = b^2 - 4ac\): \(D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10\) \(D = 49 - 40\) \(D = 9\) Так как \(D > 0\), уравнение имеет два различных корня, которые находятся по формуле \(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\): \(x_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{7 + 3}{2} = \frac{10}{2} = 5\) \(x_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{7 - 3}{2} = \frac{4}{2} = 2\) Ответ: \(x_1 = 5\), \(x_2 = 2\) 34) \(4x^2 + 4x + 1 = 0\) Это квадратное уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a=4\), \(b=4\), \(c=1\). Найдем дискриминант по формуле \(D = b^2 - 4ac\): \(D = 4^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1\) \(D = 16 - 16\) \(D = 0\) Так как \(D = 0\), уравнение имеет один корень, который находится по формуле \(x = \frac{-b}{2a}\): \(x = \frac{-4}{2 \cdot 4}\) \(x = \frac{-4}{8}\) \(x = -\frac{1}{2}\) Ответ: \(x = -\frac{1}{2}\) 35) \(x^2 - 6x - 16 = 0\) Это квадратное уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a=1\), \(b=-6\), \(c=-16\). Найдем дискриминант по формуле \(D = b^2 - 4ac\): \(D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16)\) \(D = 36 + 64\) \(D = 100\) Так как \(D > 0\), уравнение имеет два различных корня, которые находятся по формуле \(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\): \(x_1 = \frac{-(-6) + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 10}{2} = \frac{16}{2} = 8\) \(x_2 = \frac{-(-6) - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 10}{2} = \frac{-4}{2} = -2\) Ответ: \(x_1 = 8\), \(x_2 = -2\) 36) \(x^2 + 2x - 15 = 0\) Это квадратное уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a=1\), \(b=2\), \(c=-15\). Найдем дискриминант по формуле \(D = b^2 - 4ac\): \(D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15)\) \(D = 4 + 60\) \(D = 64\) Так как \(D > 0\), уравнение имеет два различных корня, которые находятся по формуле \(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\): \(x_1 = \frac{-2 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 8}{2} = \frac{6}{2} = 3\) \(x_2 = \frac{-2 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 8}{2} = \frac{-10}{2} = -5\) Ответ: \(x_1 = 3\), \(x_2 = -5\) 37) \(6x^2 - 7x + 1 = 0\) Это квадратное уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a=6\), \(b=-7\), \(c=1\). Найдем дискриминант по формуле \(D = b^2 - 4ac\): \(D = (-7)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1\) \(D = 49 - 24\) \(D = 25\) Так как \(D > 0\), уравнение имеет два различных корня, которые находятся по формуле \(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\): \(x_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{7 + 5}{12} = \frac{12}{12} = 1\) \(x_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{7 - 5}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}\) Ответ: \(x_1 = 1\), \(x_2 = \frac{1}{6}\) 38) \(7x^2 + 9x + 2 = 0\) Это квадратное уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a=7\), \(b=9\), \(c=2\). Найдем дискриминант по формуле \(D = b^2 - 4ac\): \(D = 9^2 - 4 \cdot 7 \cdot 2\) \(D = 81 - 56\) \(D = 25\) Так как \(D > 0\), уравнение имеет два различных корня, которые находятся по формуле \(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\): \(x_1 = \frac{-9 + \sqrt{25}}{2 \cdot 7} = \frac{-9 + 5}{14} = \frac{-4}{14} = -\frac{2}{7}\) \(x_2 = \frac{-9 - \sqrt{25}}{2 \cdot 7} = \frac{-9 - 5}{14} = \frac{-14}{14} = -1\) Ответ: \(x_1 = -\frac{2}{7}\), \(x_2 = -1\) 39) \(x^2 + 4x - 45 = 0\) Это квадратное уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a=1\), \(b=4\), \(c=-45\). Найдем дискриминант по формуле \(D = b^2 - 4ac\): \(D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-45)\) \(D = 16 + 180\) \(D = 196\) Так как \(D > 0\), уравнение имеет два различных корня, которые находятся по формуле \(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\): \(x_1 = \frac{-4 + \sqrt{196}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 14}{2} = \frac{10}{2} = 5\) \(x_2 = \frac{-4 - \sqrt{196}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 14}{2} = \frac{-18}{2} = -9\) Ответ: \(x_1 = 5\), \(x_2 = -9\) 40) \(x^2 + x - 6 = 0\) Это квадратное уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a=1\), \(b=1\), \(c=-6\). Найдем дискриминант по формуле \(D = b^2 - 4ac\): \(D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)\) \(D = 1 + 24\) \(D = 25\) Так как \(D > 0\), уравнение имеет два различных корня, которые находятся по формуле \(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\): \(x_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2\) \(x_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3\) Ответ: \(x_1 = 2\), \(x_2 = -3\) 41) \(x^2 + 3x + 2 = 0\) Это квадратное уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a=1\), \(b=3\), \(c=2\). Найдем дискриминант по формуле \(D = b^2 - 4ac\): \(D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2\) \(D = 9 - 8\) \(D = 1\) Так как \(D > 0\), уравнение имеет два различных корня, которые находятся по формуле \(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\): \(x_1 = \frac{-3 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 1}{2} = \frac{-2}{2} = -1\) \(x_2 = \frac{-3 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 1}{2} = \frac{-4}{2} = -2\) Ответ: \(x_1 = -1\), \(x_2 = -2\) 42) \(x^2 + 4x - 5 = 0\) Это квадратное уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a=1\), \(b=4\), \(c=-5\). Найдем дискриминант по формуле \(D = b^2 - 4ac\): \(D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5)\) \(D = 16 + 20\) \(D = 36\) Так как \(D > 0\), уравнение имеет два различных корня, которые находятся по формуле \(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\): \(x_1 = \frac{-4 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 6}{2} = \frac{2}{2} = 1\) \(x_2 = \frac{-4 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 6}{2} = \frac{-10}{2} = -5\) Ответ: \(x_1 = 1\), \(x_2 = -5\) 43) \(x^2 + 7x + 12 = 0\) Это квадратное уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a=1\), \(b=7\), \(c=12\). Найдем дискриминант по формуле \(D = b^2 - 4ac\): \(D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12\) \(D = 49 - 48\) \(D = 1\) Так как \(D > 0\), уравнение имеет два различных корня, которые находятся по формуле \(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\): \(x_1 = \frac{-7 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 + 1}{2} = \frac{-6}{2} = -3\) \(x_2 = \frac{-7 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 - 1}{2} = \frac{-8}{2} = -4\) Ответ: \(x_1 = -3\), \(x_2 = -4\) 44) \(2x^2 - 9x + 4 = 0\) Это квадратное уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a=2\), \(b=-9\), \(c=4\). Найдем дискриминант по формуле \(D = b^2 - 4ac\): \(D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4\) \(D = 81 - 32\) \(D = 49\) Так как \(D > 0\), уравнение имеет два различных корня, которые находятся по формуле \(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\): \(x_1 = \frac{-(-9) + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{9 + 7}{4} = \frac{16}{4} = 4\) \(x_2 = \frac{-(-9) - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{9 - 7}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\) Ответ: \(x_1 = 4\), \(x_2 = \frac{1}{2}\) 45) \(x^2 - 10x + 16 = 0\) Это квадратное уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a=1\), \(b=-10\), \(c=16\). Найдем дискриминант по формуле \(D = b^2 - 4ac\): \(D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16\) \(D = 100 - 64\) \(D = 36\) Так как \(D > 0\), уравнение имеет два различных корня, которые находятся по формуле \(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\): \(x_1 = \frac{-(-10) + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{10 + 6}{2} = \frac{16}{2} = 8\) \(x_2 = \frac{-(-10) - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{10 - 6}{2} = \frac{4}{2} = 2\) Ответ: \(x_1 = 8\), \(x_2 = 2\) 46) \(3x^2 - 2x - 1 = 0\) Это квадратное уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a=3\), \(b=-2\), \(c=-1\). Найдем дискриминант по формуле \(D = b^2 - 4ac\): \(D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1)\) \(D = 4 + 12\) \(D = 16\) Так как \(D > 0\), уравнение имеет два различных корня, которые находятся по формуле \(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\): \(x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{2 + 4}{6} = \frac{6}{6} = 1\) \(x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{2 - 4}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}\) Ответ: \(x_1 = 1\), \(x_2 = -\frac{1}{3}\) 47) \(2x^2 - 3x - 5 = 0\) Это квадратное уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a=2\), \(b=-3\), \(c=-5\). Найдем дискриминант по формуле \(D = b^2 - 4ac\): \(D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5)\) \(D = 9 + 40\) \(D = 49\) Так как \(D > 0\), уравнение имеет два различных корня, которые находятся по формуле \(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\): \(x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 7}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}\) \(x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 7}{4} = \frac{-4}{4} = -1\) Ответ: \(x_1 = \frac{5}{2}\), \(x_2 = -1\) 48) \(3x^2 - 4x + 1 = 0\) Это квадратное уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a=3\), \(b=-4\), \(c=1\). Найдем дискриминант по формуле \(D = b^2 - 4ac\): \(D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1\) \(D = 16 - 12\) \(D = 4\) Так как \(D > 0\), уравнение имеет два различных корня, которые находятся по формуле \(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\): \(x_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4 + 2}{6} = \frac{6}{6} = 1\) \(x_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4 - 2}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\) Ответ: \(x_1 = 1\), \(x_2 = \frac{1}{3}\) 49) \(-x^2 + 3x + 4 = 0\) Умножим уравнение на -1, чтобы коэффициент при \(x^2\) стал положительным: \(x^2 - 3x - 4 = 0\) Это квадратное уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a=1\), \(b=-3\), \(c=-4\). Найдем дискриминант по формуле \(D = b^2 - 4ac\): \(D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4)\) \(D = 9 + 16\) \(D = 25\) Так как \(D > 0\), уравнение имеет два различных корня, которые находятся по формуле \(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\): \(x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2} = 4\) \(x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 5}{2} = \frac{-2}{2} = -1\) Ответ: \(x_1 = 4\), \(x_2 = -1\) 50) \(x^2 - 6x - 27 = 0\) Это квадратное уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a=1\), \(b=-6\), \(c=-27\). Найдем дискриминант по формуле \(D = b^2 - 4ac\): \(D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-27)\) \(D = 36 + 108\) \(D = 144\) Так как \(D > 0\), уравнение имеет два различных корня, которые находятся по формуле \(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\): \(x_1 = \frac{-(-6) + \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 12}{2} = \frac{18}{2} = 9\) \(x_2 = \frac{-(-6) - \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 12}{2} = \frac{-6}{2} = -3\) Ответ: \(x_1 = 9\), \(x_2 = -3\) 51) \(x^2 + 3x - 18 = 0\) Это квадратное уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a=1\), \(b=3\), \(c=-18\). Найдем дискриминант по формуле \(D = b^2 - 4ac\): \(D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18)\) \(D = 9 + 72\) \(D = 81\) Так как \(D > 0\), уравнение имеет два различных корня, которые находятся по формуле \(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\): \(x_1 = \frac{-3 + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 9}{2} = \frac{6}{2} = 3\) \(x_2 = \frac{-3 - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 9}{2} = \frac{-12}{2} = -6\) Ответ: \(x_1 = 3\), \(x_2 = -6\) 52) \(x^2 + 8 = 6x\) Перенесем \(6x\) в левую часть уравнения: \(x^2 - 6x + 8 = 0\) Это квадратное уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a=1\), \(b=-6\), \(c=8\). Найдем дискриминант по формуле \(D = b^2 - 4ac\): \(D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8\) \(D = 36 - 32\) \(D = 4\) Так как \(D > 0\), уравнение имеет два различных корня, которые находятся по формуле \(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\): \(x_1 = \frac{-(-6) + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 2}{2} = \frac{8}{2} = 4\) \(x_2 = \frac{-(-6) - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 2}{2} = \frac{4}{2} = 2\) Ответ: \(x_1 = 4\), \(x_2 = 2\) 53) \(x^2 + 11x = -28\) Перенесем -28 в левую часть уравнения: \(x^2 + 11x + 28 = 0\) Это квадратное уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a=1\), \(b=11\), \(c=28\). Найдем дискриминант по формуле \(D = b^2 - 4ac\): \(D = 11^2 - 4 \cdot 1 \cdot 28\) \(D = 121 - 112\) \(D = 9\) Так как \(D > 0\), уравнение имеет два различных корня, которые находятся по формуле \(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\): \(x_1 = \frac{-11 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-11 + 3}{2} = \frac{-8}{2} = -4\) \(x_2 = \frac{-11 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-11 - 3}{2} = \frac{-14}{2} = -7\) Ответ: \(x_1 = -4\), \(x_2 = -7\) 54) \(x^2 - 9x = -18\) Перенесем -18 в левую часть уравнения: \(x^2 - 9x + 18 = 0\) Это квадратное уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a=1\), \(b=-9\), \(c=18\). Найдем дискриминант по формуле \(D = b^2 - 4ac\): \(D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18\) \(D = 81 - 72\) \(D = 9\) Так как \(D > 0\), уравнение имеет два различных корня, которые находятся по формуле \(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\): \(x_1 = \frac{-(-9) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{9 + 3}{2} = \frac{12}{2} = 6\) \(x_2 = \frac{-(-9) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{9 - 3}{2} = \frac{6}{2} = 3\) Ответ: \(x_1 = 6\), \(x_2 = 3\) 55) \(x^2 = 17x - 72\) Перенесем все члены в левую часть уравнения: \(x^2 - 17x + 72 = 0\) Это квадратное уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a=1\), \(b=-17\), \(c=72\). Найдем дискриминант по формуле \(D = b^2 - 4ac\): \(D = (-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 72\) \(D = 289 - 288\) \(D = 1\) Так как \(D > 0\), уравнение имеет два различных корня, которые находятся по формуле \(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\): \(x_1 = \frac{-(-17) + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{17 + 1}{2} = \frac{18}{2} = 9\) \(x_2 = \frac{-(-17) - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{17 - 1}{2} = \frac{16}{2} = 8\) Ответ: \(x_1 = 9\), \(x_2 = 8\) 56) \(6x^2 - 7x + 2 = 0\) Это квадратное уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a=6\), \(b=-7\), \(c=2\). Найдем дискриминант по формуле \(D = b^2 - 4ac\): \(D = (-7)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 2\) \(D = 49 - 48\) \(D = 1\) Так как \(D > 0\), уравнение имеет два различных корня, которые находятся по формуле \(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\): \(x_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{1}}{2 \cdot 6} = \frac{7 + 1}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}\) \(x_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{1}}{2 \cdot 6} = \frac{7 - 1}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}\) Ответ: \(x_1 = \frac{2}{3}\), \(x_2 = \frac{1}{2}\) 57) \(x^2 = 10x - 16\) Перенесем все члены в левую часть уравнения: \(x^2 - 10x + 16 = 0\) Это квадратное уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a=1\), \(b=-10\), \(c=16\). Найдем дискриминант по формуле \(D = b^2 - 4ac\): \(D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16\) \(D = 100 - 64\) \(D = 36\) Так как \(D > 0\), уравнение имеет два различных корня, которые находятся по формуле \(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\): \(x_1 = \frac{-(-10) + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{10 + 6}{2} = \frac{16}{2} = 8\) \(x_2 = \frac{-(-10) - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{10 - 6}{2} = \frac{4}{2} = 2\) Ответ: \(x_1 = 8\), \(x_2 = 2\) 58) \(x^2 = 2x\) Перенесем \(2x\) в левую часть уравнения: \(x^2 - 2x = 0\) Это неполное квадратное уравнение. Вынесем \(x\) за скобки: \(x(x - 2) = 0\) Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: \(x = 0\) или \(x - 2 = 0\) \(x = 0\) или \(x = 2\) Ответ: \(x_1 = 0\), \(x_2 = 2\) 59) \((x - 3)^2 = 9 - x^2\) Раскроем скобки: \(x^2 - 6x + 9 = 9 - x^2\) Перенесем все члены в левую часть уравнения: \(x^2 + x^2 - 6x + 9 - 9 = 0\) Приведем подобные члены: \(2x^2 - 6