Решение контрольной работы №5. Вариант 2. Основы тригонометрии

Вот решения задач из контрольной работы. Контрольная работа №5 «Основы тригонометрии» Вариант № 2. 1. Выразите в радианах: а) 15° б) 225° Решение: Для перевода градусов в радианы используем формулу: \[ \text{радианы} = \text{градусы} \cdot \frac{\pi}{180^\circ} \] а) Для 15°: \[ 15^\circ = 15 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{12} \] Ответ: \(\frac{\pi}{12}\) б) Для 225°: \[ 225^\circ = 225 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{225}{180} \pi = \frac{5 \cdot 45}{4 \cdot 45} \pi = \frac{5\pi}{4} \] Ответ: \(\frac{5\pi}{4}\) 2. Выразите в градусах: а) \(\frac{\pi}{12}\) б) \(\frac{2\pi}{3}\) Решение: Для перевода радиан в градусы используем формулу: \[ \text{градусы} = \text{радианы} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} \] а) Для \(\frac{\pi}{12}\): \[ \frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{12} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{180^\circ}{12} = 15^\circ \] Ответ: \(15^\circ\) б) Для \(\frac{2\pi}{3}\): \[ \frac{2\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} \cdot \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{2 \cdot 180^\circ}{3} = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ \] Ответ: \(120^\circ\) 3. Вычислить значение каждой из тригонометрических функций, если: \(\cos \alpha = -\frac{1}{5}\), \(\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}\). Решение: Дано: \(\cos \alpha = -\frac{1}{5}\). Угол \(\alpha\) находится в III четверти, так как \(\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}\). В III четверти синус отрицателен, тангенс и котангенс положительны. Найдем \(\sin \alpha\) по основному тригонометрическому тождеству: \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\). \[ \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha \] \[ \sin^2 \alpha = 1 - \left(-\frac{1}{5}\right)^2 = 1 - \frac{1}{25} = \frac{25 - 1}{25} = \frac{24}{25} \] \[ \sin \alpha = \pm \sqrt{\frac{24}{25}} = \pm \frac{\sqrt{24}}{5} = \pm \frac{2\sqrt{6}}{5} \] Так как \(\alpha\) в III четверти, \(\sin \alpha < 0\). \[ \sin \alpha = -\frac{2\sqrt{6}}{5} \] Найдем \(\text{tg} \alpha\): \[ \text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{-\frac{2\sqrt{6}}{5}}{-\frac{1}{5}} = \frac{2\sqrt{6}}{5} \cdot \frac{5}{1} = 2\sqrt{6} \] Найдем \(\text{ctg} \alpha\): \[ \text{ctg} \alpha = \frac{1}{\text{tg} \alpha} = \frac{1}{2\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{12} \] Ответ: \(\sin \alpha = -\frac{2\sqrt{6}}{5}\), \(\text{tg} \alpha = 2\sqrt{6}\), \(\text{ctg} \alpha = \frac{\sqrt{6}}{12}\). 4. Упростите выражение: \(1 - \frac{1}{\cos^2 \alpha}\). Решение: Используем основное тригонометрическое тождество \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\). Разделим обе части на \(\cos^2 \alpha\): \[ \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} + \frac{\cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \] \[ \text{tg}^2 \alpha + 1 = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \] Теперь подставим это в исходное выражение: \[ 1 - \frac{1}{\cos^2 \alpha} = 1 - (\text{tg}^2 \alpha + 1) = 1 - \text{tg}^2 \alpha - 1 = -\text{tg}^2 \alpha \] Ответ: \(-\text{tg}^2 \alpha\). 5. Докажите тождество: \(\sin \alpha = \cos \alpha \cdot \text{tg} \alpha\). Доказательство: Начнем с правой части тождества: \[ \cos \alpha \cdot \text{tg} \alpha \] Мы знаем, что \(\text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\). Подставим это в выражение: \[ \cos \alpha \cdot \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \] Сократим \(\cos \alpha\) (при условии, что \(\cos \alpha \neq 0\)): \[ \sin \alpha \] Таким образом, правая часть равна левой части. \[ \sin \alpha = \sin \alpha \] Тождество доказано. 6. Вычислите значение \(\cos 2\alpha\), если \(\sin \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}\) и \(\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}\). Решение: Используем формулу косинуса двойного угла: \(\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha\). Дано \(\sin \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}\). \[ \cos 2\alpha = 1 - 2 \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 \] \[ \cos 2\alpha = 1 - 2 \left(\frac{3}{4}\right) \] \[ \cos 2\alpha = 1 - \frac{6}{4} \] \[ \cos 2\alpha = 1 - \frac{3}{2} \] \[ \cos 2\alpha = -\frac{1}{2} \] Ответ: \(-\frac{1}{2}\). 7. Вычислить: \(\sin 63^\circ \cos 33^\circ - \cos 63^\circ \sin 33^\circ\). Решение: Используем формулу синуса разности двух углов: \(\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B\). В данном случае \(A = 63^\circ\) и \(B = 33^\circ\). \[ \sin 63^\circ \cos 33^\circ - \cos 63^\circ \sin 33^\circ = \sin(63^\circ - 33^\circ) \] \[ = \sin(30^\circ) \] Мы знаем, что \(\sin 30^\circ = \frac{1}{2}\). Ответ: \(\frac{1}{2}\). 8. Упростите выражение: \(\cos(60^\circ + \alpha) \cos \alpha + \sin(60^\circ + \alpha) \sin \alpha\). Решение: Используем формулу косинуса разности двух углов: \(\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B\). В данном случае \(A = 60^\circ + \alpha\) и \(B = \alpha\). \[ \cos(60^\circ + \alpha) \cos \alpha + \sin(60^\circ + \alpha) \sin \alpha = \cos((60^\circ + \alpha) - \alpha) \] \[ = \cos(60^\circ) \] Мы знаем, что \(\cos 60^\circ = \frac{1}{2}\). Ответ: \(\frac{1}{2}\). 9. Вычислить: \(\cos 37^\circ 30' \cos 7^\circ 30'\). Решение: Это выражение не является частью стандартной формулы суммы или разности. Возможно, в задании опечатка, и имелось в виду что-то другое, например, \(\cos A \cos B - \sin A \sin B\) или \(\cos A \cos B + \sin A \sin B\). Если это просто произведение, то без калькулятора или специальных таблиц точное значение не вычислить. Однако, если это часть формулы, например, \(\cos(A-B)\) или \(\cos(A+B)\), то нужно, чтобы было еще одно слагаемое. Предположим, что это часть формулы для \(\cos(A-B)\) или \(\cos(A+B)\), но без второй части формулы это не упрощается. Если это просто произведение, то его нельзя упростить до точного значения без калькулятора. Возможно, имелось в виду что-то вроде \(\cos(37^\circ 30' - 7^\circ 30')\) или \(\cos(37^\circ 30' + 7^\circ 30')\), но тогда должно быть еще слагаемое с синусами. Если это просто произведение, то ответ будет в виде произведения косинусов. \[ \cos 37^\circ 30' \cos 7^\circ 30' \] 30 минут это 0.5 градуса. \[ \cos 37.5^\circ \cos 7.5^\circ \] Используем формулу произведения косинусов: \(\cos A \cos B = \frac{1}{2} (\cos(A-B) + \cos(A+B))\). \[ \cos 37.5^\circ \cos 7.5^\circ = \frac{1}{2} (\cos(37.5^\circ - 7.5^\circ) + \cos(37.5^\circ + 7.5^\circ)) \] \[ = \frac{1}{2} (\cos(30^\circ) + \cos(45^\circ)) \] \[ = \frac{1}{2} \left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \] \[ = \frac{1}{2} \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{2} \] \[ = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{4} \] Ответ: \(\frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{4}\). 10. Вычислите: \(\frac{12}{\pi} \cdot \text{arcctg} (-\sqrt{3}) + \frac{8}{\pi} \cdot \text{arcsin} \frac{1}{\sqrt{2}}\). Решение: Сначала вычислим значения аркфункций: \[ \text{arcctg} (-\sqrt{3}) \] Угол, котангенс которого равен \(-\sqrt{3}\), находится во II четверти. Мы знаем, что \(\text{ctg} \frac{\pi}{6} = \sqrt{3}\). Значит, \(\text{arcctg} (-\sqrt{3}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}\). \[ \text{arcsin} \frac{1}{\sqrt{2}} \] Мы знаем, что \(\sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}\). Значит, \(\text{arcsin} \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\pi}{4}\). Теперь подставим эти значения в выражение: \[ \frac{12}{\pi} \cdot \frac{5\pi}{6} + \frac{8}{\pi} \cdot \frac{\pi}{4} \] Сократим \(\pi\) в каждом слагаемом: \[ \frac{12 \cdot 5}{6} + \frac{8}{4} \] \[ 2 \cdot 5 + 2 \] \[ 10 + 2 = 12 \] Ответ: \(12\). 11. Решите уравнение \(\cos \left(x - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}\). Решение: Пусть \(y = x - \frac{\pi}{3}\). Тогда уравнение примет вид \(\cos y = \frac{1}{2}\). Общее решение для \(\cos y = a\) имеет вид \(y = \pm \arccos a + 2\pi n\), где \(n \in \mathbb{Z}\). \[ y = \pm \arccos \left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi n \] Мы знаем, что \(\arccos \left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3}\). \[ y = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n \] Теперь подставим \(y = x - \frac{\pi}{3}\) обратно: \[ x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} + 2\pi n \] или \[ x - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n \] Рассмотрим первый случай: \[ x = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3} + 2\pi n \] \[ x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \] Рассмотрим второй случай: \[ x = -\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3} + 2\pi n \] \[ x = 0 + 2\pi n \] \[ x = 2\pi n \] Ответ: \(x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n\), \(x = 2\pi n\), где \(n \in \mathbb{Z}\). 12. Решите уравнение \(\sin^2 x - 3\sin x = 0\). Решение: Вынесем \(\sin x\) за скобки: \[ \sin x (\sin x - 3) = 0 \] Это уравнение распадается на два более простых уравнения: 1) \(\sin x = 0\) 2) \(\sin x - 3 = 0 \Rightarrow \sin x = 3\) Рассмотрим первое уравнение: \(\sin x = 0\). Общее решение для \(\sin x = 0\) имеет вид \(x = \pi k\), где \(k \in \mathbb{Z}\). Рассмотрим второе уравнение: \(\sin x = 3\). Значения синуса лежат в диапазоне от -1 до 1, то есть \(-1 \le \sin x \le 1\). Так как \(3 > 1\), уравнение \(\sin x = 3\) не имеет решений. Ответ: \(x = \pi k\), где \(k \in \mathbb{Z}\). 13. Решите уравнение: 1. \(\sin 5x = \sin x\) 2. \(\cos 2x \cos 3x = \sin 6x \sin x\) Решение: 1. \(\sin 5x = \sin x\) Перенесем все в одну сторону: \[ \sin 5x - \sin x = 0 \] Используем формулу разности синусов: \(\sin A - \sin B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2}\). \[ 2 \cos \frac{5x+x}{2} \sin \frac{5x-x}{2} = 0 \] \[ 2 \cos \frac{6x}{2} \sin \frac{4x}{2} = 0 \] \[ 2 \cos 3x \sin 2x = 0 \] Это уравнение распадается на два: а) \(\cos 3x = 0\) б) \(\sin 2x = 0\) Решим а) \(\cos 3x = 0\): \[ 3x = \frac{\pi}{2} + \pi n \] \[ x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3} \), где \(n \in \mathbb{Z}\). Решим б) \(\sin 2x = 0\): \[ 2x = \pi k \] \[ x = \frac{\pi k}{2} \), где \(k \in \mathbb{Z}\). Ответ: \(x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}\), \(x = \frac{\pi k}{2}\), где \(n, k \in \mathbb{Z}\). 2. \(\cos 2x \cos 3x = \sin 6x \sin x\) Используем формулы произведения тригонометрических функций: \(\cos A \cos B = \frac{1}{2} (\cos(A-B) + \cos(A+B))\) \(\sin A \sin B = \frac{1}{2} (\cos(A-B) - \cos(A+B))\) Левая часть: \[ \cos 2x \cos 3x = \frac{1}{2} (\cos(2x-3x) + \cos(2x+3x)) = \frac{1}{2} (\cos(-x) + \cos 5x) = \frac{1}{2} (\cos x + \cos 5x) \] Правая часть: \[ \sin 6x \sin x = \frac{1}{2} (\cos(6x-x) - \cos(6x+x)) = \frac{1}{2} (\cos 5x - \cos 7x) \] Приравниваем обе части: \[ \frac{1}{2} (\cos x + \cos 5x) = \frac{1}{2} (\cos 5x - \cos 7x) \] Умножим обе части на 2: \[ \cos x + \cos 5x = \cos 5x - \cos 7x \] Вычтем \(\cos 5x\) из обеих частей: \[ \cos x = -\cos 7x \] Перенесем \(\cos 7x\) в левую часть: \[ \cos x + \cos 7x = 0 \] Используем формулу суммы косинусов: \(\cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}\). \[ 2 \cos \frac{x+7x}{2} \cos \frac{x-7x}{2} = 0 \] \[ 2 \cos \frac{8x}{2} \cos \frac{-6x}{2} = 0 \] \[ 2 \cos 4x \cos (-3x) = 0 \] Так как \(\cos(-\alpha) = \cos \alpha\): \[ 2 \cos 4x \cos 3x = 0 \] Это уравнение распадается на два: а) \(\cos 4x = 0\) б) \(\cos 3x = 0\) Решим а) \(\cos 4x = 0\): \[ 4x = \frac{\pi}{2} + \pi n \] \[ x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4} \), где \(n \in \mathbb{Z}\). Решим б) \(\cos 3x = 0\): \[ 3x = \frac{\pi}{2} + \pi k \] \[ x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3} \), где \(k \in \mathbb{Z}\). Ответ: \(x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}\), \(x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}\), где \(n, k \in \mathbb{Z}\). 14. Решите уравнение: \(\cos^2 x - 3\cos x = 4\). Решение: Перенесем все слагаемые в левую часть: \[ \cos^2 x - 3\cos x - 4 = 0 \] Это квадратное уравнение относительно \(\cos x\). Пусть \(y = \cos x\). \[ y^2 - 3y - 4 = 0 \] Найдем корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта \(D = b^2 - 4ac\): \[ D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 \] \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] \[ y = \frac{-(-3) \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm 5}{2} \] Два возможных значения для \(y\): \[ y_1 = \frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2} = 4 \] \[ y_2 = \frac{3 - 5}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \] Теперь вернемся к \(\cos x\): 1) \(\cos x = 4\) 2) \(\cos x = -1\) Рассмотрим первое уравнение: \(\cos x = 4\). Значения косинуса лежат в диапазоне от -1 до 1, то есть \(-1 \le \cos x \le 1\). Так как \(4 > 1\), уравнение \(\cos x = 4\) не имеет решений. Рассмотрим второе уравнение: \(\cos x = -1\). Общее решение для \(\cos x = -1\) имеет вид \(x = \pi + 2\pi n\), где \(n \in \mathbb{Z}\). Ответ: \(x = \pi + 2\pi n\), где \(n \in \mathbb{Z}\). 15. Решите уравнение: \(4\sin^2 x + 2\cos^2 x - 3\sin 2x = 0\). Решение: Используем формулы: \(\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}\) \(\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}\) \(\sin 2x = 2\sin x \cos x\) Подставим эти формулы в уравнение: \[ 4\left(\frac{1 - \cos 2x}{2}\right) + 2\left(\frac{1 + \cos 2x}{2}\right) - 3(2\sin x \cos x) = 0 \] \[ 2(1 - \cos 2x) + (1 + \cos 2x) - 6\sin x \cos x = 0 \] \[ 2 - 2\cos 2x + 1 + \cos 2x - 6\sin x \cos x = 0 \] \[ 3 - \cos 2x - 6\sin x \cos x = 0 \] Это не упрощает уравнение до более простого вида. Лучше использовать другой подход. Разделим все члены уравнения на \(\cos^2 x\), предполагая, что \(\cos x \neq 0\). Если \(\cos x = 0\), то \(x = \frac{\pi}{2} + \pi k\). Тогда \(\sin^2 x = 1\), \(\sin 2x = 0\). Подставим в исходное уравнение: \(4(1) + 2(0) - 3(0) = 0\) \(4 = 0\), что неверно. Значит, \(\cos x \neq 0\). Разделим уравнение на \(\cos^2 x\): \[ \frac{4\sin^2 x}{\cos^2 x} + \frac{2\cos^2 x}{\cos^2 x} - \frac{3\sin 2x}{\cos^2 x} = 0 \] \[ 4\text{tg}^2 x + 2 - \frac{3(2\sin x \cos x)}{\cos^2 x} = 0 \] \[ 4\text{tg}^2 x + 2 - \frac{6\sin x}{\cos x} = 0 \] \[ 4\text{tg}^2 x + 2 - 6\text{tg} x = 0 \] Перепишем в стандартном виде квадратного уравнения относительно \(\text{tg} x\): \[ 4\text{tg}^2 x - 6\text{tg} x + 2 = 0 \] Разделим все на 2: \[ 2\text{tg}^2 x - 3\text{tg} x + 1 = 0 \] Пусть \(y = \text{tg} x\). \[ 2y^2 - 3y + 1 = 0 \] Найдем корни квадратного уравнения: \[ D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1 \] \[ y = \frac{-(-3) \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 \pm 1}{4} \] Два возможных значения для \(y\): \[ y_1 = \frac{3 + 1}{4} = \frac{4}{4} = 1 \] \[ y_2 = \frac{3 - 1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \] Теперь вернемся к \(\text{tg} x\): 1) \(\text{tg} x = 1\) 2) \(\text{tg} x = \frac{1}{2}\) Решим первое уравнение: \(\text{tg} x = 1\). \[ x = \text{arctg}(1) + \pi n \] \[ x = \frac{\pi}{4} + \pi n \), где \(n \in \mathbb{Z}\). Решим второе уравнение: \(\text{tg} x = \frac{1}{2}\). \[ x = \text{arctg}\left(\frac{1}{2}\right) + \pi k \), где \(k \in \mathbb{Z}\). Ответ: \(x = \frac{\pi}{4} + \pi n\), \(x = \text{arctg}\left(\frac{1}{2}\right) + \pi k\), где \(n, k \in \mathbb{Z}\).