Решение задачи: Найти математическое ожидание X

Решение задачи: Нам дан закон распределения случайного вектора \((X, Y)\) в виде таблицы. Нам нужно найти математическое ожидание случайной величины \(X\). Для того чтобы найти математическое ожидание случайной величины \(X\), нам сначала нужно найти закон распределения самой случайной величины \(X\). Это можно сделать, просуммировав вероятности по строкам таблицы. Шаг 1: Определим возможные значения случайной величины \(X\). Из таблицы видно, что случайная величина \(X\) может принимать значения 0 и 4. Шаг 2: Найдем вероятности для каждого значения \(X\). Для \(X = 0\): Вероятность \(P(X=0)\) равна сумме вероятностей в первой строке таблицы: \(P(X=0) = P(X=0, Y=0) + P(X=0, Y=2)\) \(P(X=0) = \frac{1}{4} + \frac{1}{2}\) Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель для 4 и 2 равен 4. \(\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4}\) Тогда: \(P(X=0) = \frac{1}{4} + \frac{2}{4} = \frac{1+2}{4} = \frac{3}{4}\) Для \(X = 4\): Вероятность \(P(X=4)\) равна сумме вероятностей во второй строке таблицы: \(P(X=4) = P(X=4, Y=0) + P(X=4, Y=2)\) \(P(X=4) = \frac{1}{8} + \frac{1}{8}\) \(P(X=4) = \frac{1+1}{8} = \frac{2}{8}\) Сократим дробь: \(P(X=4) = \frac{1}{4}\) Шаг 3: Проверим, что сумма всех вероятностей для \(X\) равна 1. \(P(X=0) + P(X=4) = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3+1}{4} = \frac{4}{4} = 1\) Сумма вероятностей равна 1, значит, мы все посчитали правильно. Шаг 4: Запишем закон распределения случайной величины \(X\). | \(X\) | 0 | 4 | |---|---|---| | \(P\) | \(\frac{3}{4}\) | \(\frac{1}{4}\) | Шаг 5: Вычислим математическое ожидание случайной величины \(X\). Математическое ожидание \(E(X)\) вычисляется по формуле: \[E(X) = \sum_{i} x_i \cdot P(X=x_i)\] В нашем случае: \(E(X) = 0 \cdot P(X=0) + 4 \cdot P(X=4)\) \(E(X) = 0 \cdot \frac{3}{4} + 4 \cdot \frac{1}{4}\) \(E(X) = 0 + \frac{4}{4}\) \(E(X) = 0 + 1\) \(E(X) = 1\) Таким образом, математическое ожидание случайной величины \(X\) равно 1. Ответ: 1