Решение задачи: (2^-3)^12 / 4^-20

Вот решение задачи, оформленное так, чтобы было удобно переписать в тетрадь школьнику:

Задача:

Найдите значение выражения:

\[ \frac{(2^{-3})^{12}}{4^{-20}} \]

Решение:

Для решения этой задачи нам понадобятся следующие свойства степеней:

1. При возведении степени в степень показатели перемножаются: \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \)
2. При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются: \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \)
3. Основание 4 можно представить как степень числа 2: \( 4 = 2^2 \)

Применим эти свойства к нашему выражению:

Шаг 1: Упростим числитель, используя свойство \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \).

\[ (2^{-3})^{12} = 2^{-3 \cdot 12} = 2^{-36} \]

Шаг 2: Преобразуем знаменатель, представив 4 как \( 2^2 \).

\[ 4^{-20} = (2^2)^{-20} \]

Теперь применим свойство \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \) к знаменателю:

\[ (2^2)^{-20} = 2^{2 \cdot (-20)} = 2^{-40} \]

Шаг 3: Подставим упрощенные числитель и знаменатель обратно в выражение.

\[ \frac{2^{-36}}{2^{-40}} \]

Шаг 4: Используем свойство деления степеней с одинаковым основанием \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \).

\[ 2^{-36 - (-40)} \]

Помним, что вычитание отрицательного числа равно прибавлению положительного:

\[ 2^{-36 + 40} \] \[ 2^4 \]

Шаг 5: Вычислим значение \( 2^4 \).

\[ 2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16 \]

Ответ:

Значение выражения равно 16.