Задача 1
Закон распределения случайного вектора (X, Y) задан таблицей:| X/Y | 0 | 2 |
| 0 | 1/4 | 1/4 |
| 1 | 1/4 | 1/4 |
Тогда математическое ожидание случайной величины Y ...
Решение:
Для того чтобы найти математическое ожидание случайной величины Y, нам сначала нужно найти закон распределения случайной величины Y. Значения, которые может принимать Y, это 0 и 2. Найдем вероятности для каждого значения Y: 1. Вероятность того, что Y = 0: Это сумма вероятностей \(P(X=0, Y=0)\) и \(P(X=1, Y=0)\). \(P(Y=0) = P(X=0, Y=0) + P(X=1, Y=0) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\) 2. Вероятность того, что Y = 2: Это сумма вероятностей \(P(X=0, Y=2)\) и \(P(X=1, Y=2)\). \(P(Y=2) = P(X=0, Y=2) + P(X=1, Y=2) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\) Теперь у нас есть закон распределения для Y:| Y | 0 | 2 |
| P | 1/2 | 1/2 |
Математическое ожидание \(E(Y)\) вычисляется по формуле: \[E(Y) = \sum y_i \cdot P(Y=y_i)\] Подставляем значения: \[E(Y) = 0 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{1}{2}\] \[E(Y) = 0 + 1\] \[E(Y) = 1\]
Ответ: 1
Задача 2
Если закон распределения случайной величины X задан таблицей:| X | -1 | 0 | 1 |
| P | 0,25 | 0,5 | 0,25 |
то математическое ожидание случайной величины \(Y = 3X + 7\) равно...
Решение:
Сначала найдем математическое ожидание случайной величины X, \(E(X)\). \[E(X) = \sum x_i \cdot P(X=x_i)\] Подставляем значения из таблицы: \[E(X) = (-1) \cdot 0,25 + 0 \cdot 0,5 + 1 \cdot 0,25\] \[E(X) = -0,25 + 0 + 0,25\] \[E(X) = 0\] Теперь нам нужно найти математическое ожидание случайной величины \(Y = 3X + 7\). Для этого используем свойство математического ожидания: \[E(aX + b) = aE(X) + b\] В нашем случае \(a = 3\) и \(b = 7\). Подставляем найденное значение \(E(X)\) в формулу: \[E(Y) = E(3X + 7) = 3E(X) + 7\] \[E(Y) = 3 \cdot 0 + 7\] \[E(Y) = 0 + 7\] \[E(Y) = 7\]Ответ: 7
Задача 3
Случайная величина X распределена равномерно на отрезке \([-3, -1]\), тогда математическое ожидание случайной величины \(2 - X\) ...Решение:
Для случайной величины X, равномерно распределенной на отрезке \([a, b]\), математическое ожидание \(E(X)\) вычисляется по формуле: \[E(X) = \frac{a+b}{2}\] В нашем случае \(a = -3\) и \(b = -1\). Подставляем эти значения в формулу: \[E(X) = \frac{-3 + (-1)}{2}\] \[E(X) = \frac{-3 - 1}{2}\] \[E(X) = \frac{-4}{2}\] \[E(X) = -2\] Теперь нам нужно найти математическое ожидание случайной величины \(Y = 2 - X\). Для этого используем свойство математического ожидания: \[E(aX + b) = aE(X) + b\] В нашем случае \(Y = -1 \cdot X + 2\), то есть \(a = -1\) и \(b = 2\). Подставляем найденное значение \(E(X)\) в формулу: \[E(Y) = E(2 - X) = E(-1 \cdot X + 2) = -1 \cdot E(X) + 2\] \[E(Y) = -1 \cdot (-2) + 2\] \[E(Y) = 2 + 2\] \[E(Y) = 4\]Ответ: 4