Решение задачи: (5^3)^-4 / 5^-11

Вот решение задачи, оформленное так, чтобы было удобно переписать в тетрадь школьнику:

Задача:

Найдите значение выражения:

\[ \frac{(5^3)^{-4}}{5^{-11}} \]

Решение:

Для решения этой задачи нам понадобятся следующие свойства степеней:

1. При возведении степени в степень показатели перемножаются: \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \)
2. При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются: \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \)

Применим эти свойства к нашему выражению:

Шаг 1: Упростим числитель, используя свойство \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \).

\[ (5^3)^{-4} = 5^{3 \cdot (-4)} = 5^{-12} \]

Шаг 2: Подставим упрощенный числитель обратно в выражение.

\[ \frac{5^{-12}}{5^{-11}} \]

Шаг 3: Используем свойство деления степеней с одинаковым основанием \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \).

\[ 5^{-12 - (-11)} \]

Помним, что вычитание отрицательного числа равно прибавлению положительного:

\[ 5^{-12 + 11} \] \[ 5^{-1} \]

Шаг 4: Вычислим значение \( 5^{-1} \).

Отрицательная степень означает обратную величину: \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \).

\[ 5^{-1} = \frac{1}{5^1} = \frac{1}{5} \]

Шаг 5: Представим результат в виде десятичной дроби.

\[ \frac{1}{5} = 0.2 \]

Ответ:

Значение выражения равно 0.2.