Задача:
Найдите значение выражения:
\[ 4^{-2} \cdot 16^2 \]Решение:
Для решения этой задачи нам понадобятся следующие свойства степеней:
- Отрицательная степень означает обратную величину: \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \)
- Основание 16 можно представить как степень числа 4: \( 16 = 4^2 \)
- При возведении степени в степень показатели перемножаются: \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \)
- При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \)
Применим эти свойства к нашему выражению:
Способ 1: Вычисление по частям
Шаг 1: Вычислим \( 4^{-2} \).
\[ 4^{-2} = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16} \]Шаг 2: Вычислим \( 16^2 \).
\[ 16^2 = 16 \cdot 16 = 256 \]Шаг 3: Умножим полученные значения.
\[ \frac{1}{16} \cdot 256 = \frac{256}{16} \]Шаг 4: Выполним деление.
\[ \frac{256}{16} = 16 \]Способ 2: Приведение к одному основанию
Шаг 1: Представим 16 как степень числа 4.
\[ 16 = 4^2 \]Шаг 2: Подставим это в выражение.
\[ 4^{-2} \cdot (4^2)^2 \]Шаг 3: Упростим \( (4^2)^2 \) с помощью свойства \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \).
\[ (4^2)^2 = 4^{2 \cdot 2} = 4^4 \]Шаг 4: Теперь выражение выглядит так:
\[ 4^{-2} \cdot 4^4 \]Шаг 5: Используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \).
\[ 4^{-2 + 4} = 4^2 \]Шаг 6: Вычислим значение \( 4^2 \).
\[ 4^2 = 4 \cdot 4 = 16 \]Оба способа дают одинаковый результат.
Ответ:
Значение выражения равно 16.