Задача:
Найдите значение выражения:
\[ \frac{5^{-2} \cdot 5^{-3}}{5^{-4}} \]Решение:
Для решения этой задачи нам понадобятся следующие свойства степеней:
- При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \)
- При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются: \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \)
Применим эти свойства к нашему выражению:
Шаг 1: Упростим числитель, используя свойство \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \).
\[ 5^{-2} \cdot 5^{-3} = 5^{-2 + (-3)} = 5^{-2 - 3} = 5^{-5} \]Шаг 2: Подставим упрощенный числитель обратно в выражение.
\[ \frac{5^{-5}}{5^{-4}} \]Шаг 3: Используем свойство деления степеней с одинаковым основанием \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \).
\[ 5^{-5 - (-4)} \]Помним, что вычитание отрицательного числа равно прибавлению положительного:
\[ 5^{-5 + 4} \] \[ 5^{-1} \]Шаг 4: Вычислим значение \( 5^{-1} \).
Отрицательная степень означает обратную величину: \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \).
\[ 5^{-1} = \frac{1}{5^1} = \frac{1}{5} \]Шаг 5: Представим результат в виде десятичной дроби.
\[ \frac{1}{5} = 0.2 \]Ответ:
Значение выражения равно 0.2.