Задача:
Найдите значение выражения:
\[ \frac{32^2}{16^3} \]Решение:
Для решения этой задачи удобно привести все числа к одному основанию. Заметим, что 32 и 16 являются степенями числа 2:
- \( 32 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^5 \)
- \( 16 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4 \)
Нам понадобятся следующие свойства степеней:
- При возведении степени в степень показатели перемножаются: \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \)
- При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются: \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \)
Применим эти свойства к нашему выражению:
Шаг 1: Заменим 32 и 16 их степенями числа 2.
\[ \frac{(2^5)^2}{(2^4)^3} \]Шаг 2: Упростим числитель и знаменатель, используя свойство \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \).
Для числителя:
\[ (2^5)^2 = 2^{5 \cdot 2} = 2^{10} \]Для знаменателя:
\[ (2^4)^3 = 2^{4 \cdot 3} = 2^{12} \]Шаг 3: Подставим упрощенные выражения обратно в дробь.
\[ \frac{2^{10}}{2^{12}} \]Шаг 4: Используем свойство деления степеней с одинаковым основанием \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \).
\[ 2^{10 - 12} = 2^{-2} \]Шаг 5: Вычислим значение \( 2^{-2} \).
Отрицательная степень означает обратную величину: \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \).
\[ 2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4} \]Шаг 6: Представим результат в виде десятичной дроби.
\[ \frac{1}{4} = 0.25 \]Ответ:
Значение выражения равно 0.25.