Задача:
Найдите значение выражения: \(3^{-7} \cdot 27^3\).
Решение:
Для того чтобы найти значение выражения, нам нужно привести все числа к одному основанию. В данном случае, основание 3.
1. Заметим, что число 27 можно представить как степень числа 3:
\[27 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^3\]2. Теперь подставим это в исходное выражение:
\[3^{-7} \cdot (3^3)^3\]3. Используем свойство степеней: \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\). В нашем случае \(a=3\), \(m=3\), \(n=3\):
\[(3^3)^3 = 3^{3 \cdot 3} = 3^9\]4. Теперь наше выражение выглядит так:
\[3^{-7} \cdot 3^9\]5. Используем свойство степеней: \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\). В нашем случае \(a=3\), \(m=-7\), \(n=9\):
\[3^{-7} \cdot 3^9 = 3^{-7+9}\]6. Выполним сложение показателей степени:
\[-7 + 9 = 2\]7. Таким образом, выражение упрощается до:
\[3^2\]8. Вычислим значение \(3^2\):
\[3^2 = 3 \cdot 3 = 9\]Ответ:
9