Найдено математическое ожидание случайной величины Y = 3X + 7, если известен закон распределения случайной величины X. Подробное решение с формулами и пояснениями.
check_circle
Подробное решение
Вот решение задач, оформленное так, чтобы было удобно переписать в тетрадь школьнику.
***
Задача 1
Если закон распределения случайной величины \(X\) задан таблицей:
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
X & -1 & 0 & 1 \\
\hline
P & 0,25 & 0,5 & 0,25 \\
\hline
\end{array}
\]
то математическое ожидание случайной величины \(Y = 3X + 7\) равно...
Выберите один ответ:
1) 1
2) 4
3) 2
4) -1
Решение:
Для начала найдем математическое ожидание случайной величины \(X\).
Математическое ожидание \(E(X)\) вычисляется как сумма произведений значений случайной величины на их вероятности:
\[
E(X) = \sum x_i \cdot p_i
\]
В нашем случае:
\[
E(X) = (-1) \cdot 0,25 + 0 \cdot 0,5 + 1 \cdot 0,25
\]
\[
E(X) = -0,25 + 0 + 0,25
\]
\[
E(X) = 0
\]
Теперь найдем математическое ожидание случайной величины \(Y = 3X + 7\).
Используем свойство математического ожидания: \(E(aX + b) = aE(X) + b\).
В нашем случае \(a = 3\) и \(b = 7\).
\[
E(Y) = E(3X + 7) = 3E(X) + 7
\]
Подставим найденное значение \(E(X) = 0\):
\[
E(Y) = 3 \cdot 0 + 7
\]
\[
E(Y) = 0 + 7
\]
\[
E(Y) = 7
\]
В предложенных вариантах ответа нет числа 7. Возможно, в задании или вариантах ответа допущена опечатка. Если бы варианты были 1, 4, 2, -1, то ни один из них не подходит.
Давайте перепроверим условие. Если бы вопрос был "то математическое ожидание случайной величины \(Y = 3X + 4\)", то ответ был бы 4.
\[
E(Y) = E(3X + 4) = 3E(X) + 4 = 3 \cdot 0 + 4 = 4
\]
Если бы вопрос был "то математическое ожидание случайной величины \(Y = 3X + 1\)", то ответ был бы 1.
\[
E(Y) = E(3X + 1) = 3E(X) + 1 = 3 \cdot 0 + 1 = 1
\]
Если бы вопрос был "то математическое ожидание случайной величины \(Y = 3X + 2\)", то ответ был бы 2.
\[
E(Y) = E(3X + 2) = 3E(X) + 2 = 3 \cdot 0 + 2 = 2
\]
Если бы вопрос был "то математическое ожидание случайной величины \(Y = 3X - 1\)", то ответ был бы -1.
\[
E(Y) = E(3X - 1) = 3E(X) - 1 = 3 \cdot 0 - 1 = -1
\]
Поскольку в задании указано \(Y = 3X + 7\), а в вариантах ответа нет 7, то, скорее всего, в задании опечатка и имелось в виду \(Y = 3X + 4\), так как 4 является одним из вариантов ответа.
Предположим, что в задании опечатка и вместо \(Y = 3X + 7\) должно быть \(Y = 3X + 4\).
Тогда:
\[
E(Y) = E(3X + 4) = 3E(X) + 4 = 3 \cdot 0 + 4 = 4
\]
Ответ:
Предполагая опечатку в условии и что имелось в виду \(Y = 3X + 4\), правильный ответ: 4.
Если же условие \(Y = 3X + 7\) строго верно, то правильный ответ 7, которого нет среди предложенных вариантов.
***
Задача 2
Случайная величина \(X\) распределена равномерно на отрезке \([-3, 1]\), тогда математическое ожидание случайной величины \(2 - X\) равно...
Решение:
Если случайная величина \(X\) распределена равномерно на отрезке \([a, b]\), то её математическое ожидание \(E(X)\) вычисляется по формуле:
\[
E(X) = \frac{a + b}{2}
\]
В нашем случае отрезок \([-3, 1]\), значит \(a = -3\) и \(b = 1\).
\[
E(X) = \frac{-3 + 1}{2}
\]
\[
E(X) = \frac{-2}{2}
\]
\[
E(X) = -1
\]
Теперь найдем математическое ожидание случайной величины \(2 - X\).
Используем свойство математического ожидания: \(E(c - X) = c - E(X)\).
В нашем случае \(c = 2\).
\[
E(2 - X) = 2 - E(X)
\]
Подставим найденное значение \(E(X) = -1\):
\[
E(2 - X) = 2 - (-1)
\]
\[
E(2 - X) = 2 + 1
\]
\[
E(2 - X) = 3
\]
