Задача 7.2
Сумма двух чисел равна 46, а сумма их квадратов равна 1130. Найдите эти числа.
Решение:
Пусть первое число будет \(x\), а второе число будет \(y\).
По условию задачи, сумма двух чисел равна 46. Это можно записать как:
\[x + y = 46 \quad (1)\]Также по условию, сумма их квадратов равна 1130. Это можно записать как:
\[x^2 + y^2 = 1130 \quad (2)\]Из уравнения (1) выразим \(y\) через \(x\):
\[y = 46 - x\]Теперь подставим это выражение для \(y\) в уравнение (2):
\[x^2 + (46 - x)^2 = 1130\]Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\):
\[x^2 + (46^2 - 2 \cdot 46 \cdot x + x^2) = 1130\] \[x^2 + (2116 - 92x + x^2) = 1130\]Приведем подобные слагаемые:
\[2x^2 - 92x + 2116 = 1130\]Перенесем 1130 в левую часть уравнения:
\[2x^2 - 92x + 2116 - 1130 = 0\] \[2x^2 - 92x + 986 = 0\]Разделим все члены уравнения на 2, чтобы упростить его:
\[x^2 - 46x + 493 = 0\]Теперь решим это квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта \(D = b^2 - 4ac\):
Здесь \(a = 1\), \(b = -46\), \(c = 493\).
\[D = (-46)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 493\] \[D = 2116 - 1972\] \[D = 144\]Найдем корни уравнения по формуле \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\):
\[x_1 = \frac{-(-46) + \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{46 + 12}{2} = \frac{58}{2} = 29\] \[x_2 = \frac{-(-46) - \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{46 - 12}{2} = \frac{34}{2} = 17\]Теперь найдем соответствующие значения \(y\) для каждого \(x\).
Если \(x_1 = 29\), то \(y_1 = 46 - x_1 = 46 - 29 = 17\).
Если \(x_2 = 17\), то \(y_2 = 46 - x_2 = 46 - 17 = 29\).
Таким образом, числа это 29 и 17.
Проверка:
Сумма чисел: \(29 + 17 = 46\). Верно.
Сумма квадратов: \(29^2 + 17^2 = 841 + 289 = 1130\). Верно.
Ответ: Эти числа 29 и 17.
Задача 7.3
Разность двух натуральных чисел равна 24, а их произведение равно 481. Найдите эти числа.
Решение:
Пусть первое натуральное число будет \(x\), а второе натуральное число будет \(y\).
По условию задачи, разность двух натуральных чисел равна 24. Это можно записать как:
\[x - y = 24 \quad (1)\]Также по условию, их произведение равно 481. Это можно записать как:
\[x \cdot y = 481 \quad (2)\]Из уравнения (1) выразим \(x\) через \(y\):
\[x = 24 + y\]Теперь подставим это выражение для \(x\) в уравнение (2):
\[(24 + y) \cdot y = 481\]Раскроем скобки:
\[24y + y^2 = 481\]Перенесем 481 в левую часть уравнения и запишем в стандартном виде квадратного уравнения:
\[y^2 + 24y - 481 = 0\]Решим это квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта \(D = b^2 - 4ac\):
Здесь \(a = 1\), \(b = 24\), \(c = -481\).
\[D = 24^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-481)\] \[D = 576 + 1924\] \[D = 2500\]Найдем корни уравнения по формуле \(y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\):
\[y_1 = \frac{-24 + \sqrt{2500}}{2 \cdot 1} = \frac{-24 + 50}{2} = \frac{26}{2} = 13\] \[y_2 = \frac{-24 - \sqrt{2500}}{2 \cdot 1} = \frac{-24 - 50}{2} = \frac{-74}{2} = -37\]Поскольку числа должны быть натуральными, \(y = 13\) является единственным подходящим решением.
Теперь найдем соответствующее значение \(x\):
\[x = 24 + y = 24 + 13 = 37\]Таким образом, числа это 37 и 13.
Проверка:
Разность чисел: \(37 - 13 = 24\). Верно.
Произведение чисел: \(37 \cdot 13 = 481\). Верно.
Ответ: Эти числа 37 и 13.
Задача 7.4
Разность двух натуральных чисел равна 16, а произведение на 553 меньше суммы их квадратов. Найдите эти числа.
Решение:
Пусть первое натуральное число будет \(x\), а второе натуральное число будет \(y\).
По условию задачи, разность двух натуральных чисел равна 16. Это можно записать как:
\[x - y = 16 \quad (1)\]Также по условию, произведение чисел на 553 меньше суммы их квадратов. Это означает, что если к произведению прибавить 553, то оно станет равно сумме квадратов:
\[x \cdot y + 553 = x^2 + y^2 \quad (2)\]Из уравнения (1) выразим \(x\) через \(y\):
\[x = 16 + y\]Теперь подставим это выражение для \(x\) в уравнение (2):
\[(16 + y) \cdot y + 553 = (16 + y)^2 + y^2\]Раскроем скобки и возведем в квадрат:
\[16y + y^2 + 553 = (16^2 + 2 \cdot 16 \cdot y + y^2) + y^2\] \[16y + y^2 + 553 = 256 + 32y + y^2 + y^2\]Приведем подобные слагаемые:
\[16y + y^2 + 553 = 2y^2 + 32y + 256\]Перенесем все члены в правую часть уравнения, чтобы \(y^2\) был с положительным коэффициентом:
\[0 = 2y^2 - y^2 + 32y - 16y + 256 - 553\] \[0 = y^2 + 16y - 297\]Теперь решим это квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта \(D = b^2 - 4ac\):
Здесь \(a = 1\), \(b = 16\), \(c = -297\).
\[D = 16^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-297)\] \[D = 256 + 1188\] \[D = 1444\]Найдем корни уравнения по формуле \(y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\):
\[y_1 = \frac{-16 + \sqrt{1444}}{2 \cdot 1} = \frac{-16 + 38}{2} = \frac{22}{2} = 11\] \[y_2 = \frac{-16 - \sqrt{1444}}{2 \cdot 1} = \frac{-16 - 38}{2} = \frac{-54}{2} = -27\]Поскольку числа должны быть натуральными, \(y = 11\) является единственным подходящим решением.
Теперь найдем соответствующее значение \(x\):
\[x = 16 + y = 16 + 11 = 27\]Таким образом, числа это 27 и 11.
Проверка:
Разность чисел: \(27 - 11 = 16\). Верно.
Произведение чисел: \(27 \cdot 11 = 297\).
Сумма квадратов: \(27^2 + 11^2 = 729 + 121 = 850\).
Проверим условие: произведение на 553 меньше суммы квадратов. То есть \(297 + 553 = 850\). Верно.
Ответ: Эти числа 27 и 11.
Задача 7.5
Сумма двух натуральных чисел равна 50, а произведение на 11 меньше, чем разность их квадратов. Найдите эти числа.
Решение:
Пусть первое натуральное число будет \(x\), а второе натуральное число будет \(y\).
По условию задачи, сумма двух натуральных чисел равна 50. Это можно записать как:
\[x + y = 50 \quad (1)\]Также по условию, произведение чисел на 11 меньше, чем разность их квадратов. Это означает, что если к произведению прибавить 11, то оно станет равно разности квадратов:
\[x \cdot y + 11 = x^2 - y^2 \quad (2)\]Предположим, что \(x > y\), чтобы разность квадратов была положительной. Если в итоге получится, что \(y > x\), то мы просто поменяем числа местами.
Из уравнения (1) выразим \(y\) через \(x\):
\[y = 50 - x\]Теперь подставим это выражение для \(y\) в уравнение (2):
\[x(50 - x) + 11 = x^2 - (50 - x)^2\]Раскроем скобки и возведем в квадрат:
\[50x - x^2 + 11 = x^2 - (50^2 - 2 \cdot 50 \cdot x + x^2)\] \[50x - x^2 + 11 = x^2 - (2500 - 100x + x^2)\] \[50x - x^2 + 11 = x^2 - 2500 + 100x - x^2\]Приведем подобные слагаемые:
\[50x - x^2 + 11 = 100x - 2500\]Перенесем все члены в правую часть уравнения, чтобы \(x^2\) был с положительным коэффициентом, или в левую, чтобы собрать все члены:
\[-x^2 + 50x - 100x + 11 + 2500 = 0\] \[-x^2 - 50x + 2511 = 0\]Умножим все члены уравнения на -1, чтобы \(x^2\) был с положительным коэффициентом:
\[x^2 + 50x - 2511 = 0\]Решим это квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта \(D = b^2 - 4ac\):
Здесь \(a = 1\), \(b = 50\), \(c = -2511\).
\[D = 50^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2511)\] \[D = 2500 + 10044\] \[D = 12544\]Найдем корни уравнения по формуле \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\):
\[x_1 = \frac{-50 + \sqrt{12544}}{2 \cdot 1} = \frac{-50 + 112}{2} = \frac{62}{2} = 31\] \[x_2 = \frac{-50 - \sqrt{12544}}{2 \cdot 1} = \frac{-50 - 112}{2} = \frac{-162}{2} = -81\]Поскольку числа должны быть натуральными, \(x = 31\) является единственным подходящим решением.
Теперь найдем соответствующее значение \(y\):
\[y = 50 - x = 50 - 31 = 19\]Таким образом, числа это 31 и 19.
Проверка:
Сумма чисел: \(31 + 19 = 50\). Верно.
Произведение чисел: \(31 \cdot 19 = 589\).
Разность квадратов: \(31^2 - 19^2 = 961 - 361 = 600\).
Проверим условие: произведение на 11 меньше, чем разность квадратов. То есть \(589 + 11 = 600\). Верно.
Ответ: Эти числа 31 и 19.