Решение задачи: Математическое ожидание Y = 3X + 7

Хорошо, давайте решим эту задачу. ***

Задача

Если закон распределения случайной величины \(X\) задан таблицей: \[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline X & -1 & 0 & 1 \\ \hline P & 0,25 & 0,5 & 0,25 \\ \hline \end{array} \] то математическое ожидание случайной величины \(Y = 3X + 7\) равно... Выберите один ответ: 1) 1 2) 4 3) 2 4) -1

Решение:

Для начала нам нужно найти математическое ожидание случайной величины \(X\). Математическое ожидание \(E(X)\) дискретной случайной величины вычисляется как сумма произведений каждого возможного значения величины на его вероятность. Формула для \(E(X)\) выглядит так: \[ E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot p_i \] Где \(x_i\) - это значения случайной величины, а \(p_i\) - соответствующие им вероятности. В нашей таблице: \(x_1 = -1\), \(p_1 = 0,25\) \(x_2 = 0\), \(p_2 = 0,5\) \(x_3 = 1\), \(p_3 = 0,25\) Подставим эти значения в формулу: \[ E(X) = (-1) \cdot 0,25 + (0) \cdot 0,5 + (1) \cdot 0,25 \] Выполним умножение: \[ E(X) = -0,25 + 0 + 0,25 \] Теперь сложим полученные значения: \[ E(X) = 0 \] Итак, математическое ожидание случайной величины \(X\) равно 0. Далее нам нужно найти математическое ожидание случайной величины \(Y = 3X + 7\). Для этого мы используем свойство математического ожидания, которое гласит: \[ E(aX + b) = aE(X) + b \] В нашем случае \(a = 3\) и \(b = 7\). Подставим эти значения и найденное \(E(X) = 0\) в формулу: \[ E(Y) = E(3X + 7) = 3 \cdot E(X) + 7 \] \[ E(Y) = 3 \cdot 0 + 7 \] Выполним умножение: \[ E(Y) = 0 + 7 \] \[ E(Y) = 7 \] Таким образом, математическое ожидание случайной величины \(Y = 3X + 7\) равно 7. Теперь посмотрим на предложенные варианты ответа: 1) 1 2) 4 3) 2 4) -1 Мы видим, что наш результат (7) отсутствует среди предложенных вариантов. Это может указывать на опечатку в условии задачи или в вариантах ответа. Однако, если предположить, что в задании была опечатка и вместо \(Y = 3X + 7\) должно было быть \(Y = 3X + 4\), то: \[ E(Y) = E(3X + 4) = 3 \cdot E(X) + 4 = 3 \cdot 0 + 4 = 4 \] В этом случае ответ 4 был бы правильным и присутствовал бы среди вариантов. Если бы вместо \(Y = 3X + 1\) было, то ответ был бы 1. Если бы вместо \(Y = 3X + 2\) было, то ответ был бы 2. Если бы вместо \(Y = 3X - 1\) было, то ответ был бы -1. Исходя из того, что один из вариантов ответа - 4, и это число получается, если константа в выражении для \(Y\) равна 4, а не 7, мы можем предположить, что это и есть задуманный ответ.

Вывод:

Математическое ожидание \(E(X) = 0\). Математическое ожидание \(E(3X + 7) = 7\). Поскольку 7 нет среди вариантов ответа, и 4 является одним из вариантов, мы предполагаем, что в условии задачи была опечатка, и вместо \(Y = 3X + 7\) должно было быть \(Y = 3X + 4\). В этом случае ответ будет 4.

Ответ:

Предполагая опечатку в условии задачи (что вместо \(Y = 3X + 7\) должно быть \(Y = 3X + 4\)), правильный ответ: 4.