Упрощение выражений: решение задач по алгебре

Вот решения задач, оформленные так, чтобы было удобно переписать в тетрадь школьнику. 1. Упростите выражение: а) \(x^3 \cdot x \cdot x^{11}\) Решение: При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются. \(x^3 \cdot x \cdot x^{11} = x^{3+1+11} = x^{15}\) Ответ: \(x^{15}\) б) \(x^{15} : x^5\) Решение: При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются. \(x^{15} : x^5 = x^{15-5} = x^{10}\) Ответ: \(x^{10}\) в) \((x^4)^7\) Решение: При возведении степени в степень показатели перемножаются. \((x^4)^7 = x^{4 \cdot 7} = x^{28}\) Ответ: \(x^{28}\) г) \(-5(a + 8b) + (3a + 7b)\) Решение: Раскроем скобки: \(-5(a + 8b) + (3a + 7b) = -5a - 5 \cdot 8b + 3a + 7b = -5a - 40b + 3a + 7b\) Приведем подобные слагаемые: \((-5a + 3a) + (-40b + 7b) = -2a - 33b\) Ответ: \(-2a - 33b\) д) \(7 - (x - (2x + 8))\) Решение: Раскроем внутренние скобки: \(7 - (x - (2x + 8)) = 7 - (x - 2x - 8)\) Упростим выражение в скобках: \(7 - (-x - 8)\) Раскроем внешние скобки, меняя знаки на противоположные: \(7 + x + 8\) Приведем подобные слагаемые: \(x + (7 + 8) = x + 15\) Ответ: \(x + 15\) 2. Вычислите: а) \(3,53 + 4,659 + 5,47\) Решение: Сгруппируем числа для удобства сложения: \((3,53 + 5,47) + 4,659 = 9,00 + 4,659 = 13,659\) Ответ: \(13,659\) б) \(2,5 \cdot 9,64 \cdot 40\) Решение: Сгруппируем числа для удобства умножения: \((2,5 \cdot 40) \cdot 9,64 = 100 \cdot 9,64 = 964\) Ответ: \(964\) в) \(2\frac{3}{5} \cdot 15\) Решение: Переведем смешанную дробь в неправильную: \(2\frac{3}{5} = \frac{2 \cdot 5 + 3}{5} = \frac{10 + 3}{5} = \frac{13}{5}\) Выполним умножение: \(\frac{13}{5} \cdot 15 = \frac{13 \cdot 15}{5} = 13 \cdot \frac{15}{5} = 13 \cdot 3 = 39\) Ответ: \(39\) г) \(\frac{25^2 \cdot 5^7}{5^9}\) Решение: Представим \(25\) как степень числа \(5\): \(25 = 5^2\). Тогда \(25^2 = (5^2)^2 = 5^{2 \cdot 2} = 5^4\). Подставим это в выражение: \(\frac{5^4 \cdot 5^7}{5^9}\) При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: \(\frac{5^{4+7}}{5^9} = \frac{5^{11}}{5^9}\) При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются: \(5^{11-9} = 5^2 = 25\) Ответ: \(25\) д) \(-8 \cdot 3^2 + 3 \cdot 4^3\) Решение: Вычислим степени: \(3^2 = 3 \cdot 3 = 9\) \(4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 16 \cdot 4 = 64\) Подставим значения в выражение: \(-8 \cdot 9 + 3 \cdot 64\) Выполним умножение: \(-72 + 192\) Выполним сложение: \(192 - 72 = 120\) Ответ: \(120\) 3. Решите уравнение: \(2(3x - 2) - 3(4x - 3) = 2 - 4x\) Решение: Раскроем скобки в левой части уравнения: \(2 \cdot 3x - 2 \cdot 2 - 3 \cdot 4x - 3 \cdot (-3) = 2 - 4x\) \(6x - 4 - 12x + 9 = 2 - 4x\) Приведем подобные слагаемые в левой части: \((6x - 12x) + (-4 + 9) = 2 - 4x\) \(-6x + 5 = 2 - 4x\) Перенесем слагаемые с \(x\) в одну сторону, а числа - в другую. Перенесем \(-4x\) в левую часть с противоположным знаком, а \(5\) - в правую часть с противоположным знаком: \(-6x + 4x = 2 - 5\) \(-2x = -3\) Разделим обе части уравнения на \(-2\): \(x = \frac{-3}{-2}\) \(x = 1,5\) Ответ: \(x = 1,5\) 4. Найдите значение выражения \(3,5p - 4q\) при \(p = -\frac{3}{5}\), \(q = 5,5\) Решение: Подставим значения \(p\) и \(q\) в выражение: \(3,5 \cdot (-\frac{3}{5}) - 4 \cdot 5,5\) Переведем десятичные дроби в обыкновенные или наоборот для удобства вычислений. \(3,5 = \frac{35}{10} = \frac{7}{2}\) \(5,5 = \frac{55}{10} = \frac{11}{2}\) Тогда выражение примет вид: \(\frac{7}{2} \cdot (-\frac{3}{5}) - 4 \cdot \frac{11}{2}\) Выполним умножение: \(-\frac{7 \cdot 3}{2 \cdot 5} - \frac{4 \cdot 11}{2}\) \(-\frac{21}{10} - \frac{44}{2}\) Упростим вторую дробь: \(-\frac{21}{10} - 22\) Переведем \(-22\) в дробь со знаменателем \(10\): \(-22 = -\frac{220}{10}\) Выполним вычитание: \(-\frac{21}{10} - \frac{220}{10} = -\frac{21 + 220}{10} = -\frac{241}{10} = -24,1\) Можно также вычислять с десятичными дробями: \(3,5 \cdot (-0,6) - 4 \cdot 5,5\) \(3,5 \cdot (-0,6) = -2,1\) \(4 \cdot 5,5 = 22\) \(-2,1 - 22 = -24,1\) Ответ: \(-24,1\) 5. Пассажирский поезд за 4 часа прошел такое же расстояние, какое товарный за 6 часов. Найдите скорость пассажирского поезда, если известно, что скорость товарного на 20 км/ч меньше. Решение: Пусть скорость пассажирского поезда будет \(V_п\) км/ч. Пусть скорость товарного поезда будет \(V_т\) км/ч. Известно, что скорость товарного поезда на 20 км/ч меньше скорости пассажирского. Значит, \(V_т = V_п - 20\). Расстояние, которое прошел пассажирский поезд за 4 часа: \(S_п = V_п \cdot 4\) Расстояние, которое прошел товарный поезд за 6 часов: \(S_т = V_т \cdot 6\) По условию задачи, эти расстояния равны: \(S_п = S_т\). Значит, \(V_п \cdot 4 = V_т \cdot 6\). Подставим выражение для \(V_т\) в это уравнение: \(V_п \cdot 4 = (V_п - 20) \cdot 6\) Раскроем скобки: \(4V_п = 6V_п - 120\) Перенесем слагаемые с \(V_п\) в одну сторону, а числа - в другую: \(4V_п - 6V_п = -120\) \(-2V_п = -120\) Разделим обе части на \(-2\): \(V_п = \frac{-120}{-2}\) \(V_п = 60\) Скорость пассажирского поезда равна 60 км/ч. Проверим: Скорость товарного поезда: \(V_т = 60 - 20 = 40\) км/ч. Расстояние пассажирского поезда: \(60 \cdot 4 = 240\) км. Расстояние товарного поезда: \(40 \cdot 6 = 240\) км. Расстояния равны, значит, решение верное. Ответ: Скорость пассажирского поезда 60 км/ч. 6. Цена товара была повышена на 21% и составила 2420 рублей. Сколько стоил товар до повышения цены? Решение: Пусть первоначальная цена товара будет \(X\) рублей. Повышение цены на 21% означает, что к первоначальной цене добавили 21% от этой цены. То есть, новая цена составляет \(100\% + 21\% = 121\%\) от первоначальной цены. В десятичных дробях это \(1,21\) от первоначальной цены. Составим уравнение: \(X \cdot 1,21 = 2420\) Чтобы найти \(X\), разделим 2420 на 1,21: \(X = \frac{2420}{1,21}\) \(X = 2000\) Значит, товар стоил 2000 рублей до повышения цены. Проверим: 21% от 2000 рублей: \(2000 \cdot 0,21 = 420\) рублей. Новая цена: \(2000 + 420 = 2420\) рублей. Верно. Ответ: Товар стоил 2000 рублей до повышения цены. 7. На одном складе было в 3 раза больше телевизоров, чем на другом. После того, как с первого склада взяли 20 телевизоров, а на другой привезли 14, телевизоров стало поровну. Сколько было телевизоров изначально на каждом складе? Решение: Пусть на втором складе изначально было \(x\) телевизоров. Тогда на первом складе изначально было \(3x\) телевизоров. После изменений: С первого склада взяли 20 телевизоров, значит, на первом складе стало \(3x - 20\) телевизоров. На второй склад привезли 14 телевизоров, значит, на втором складе стало \(x + 14\) телевизоров. По условию задачи, после этих изменений телевизоров на складах стало поровну. Составим уравнение: \(3x - 20 = x + 14\) Решим уравнение: Перенесем слагаемые с \(x\) в одну сторону, а числа - в другую. \(3x - x = 14 + 20\) \(2x = 34\) Разделим обе части на 2: \(x = \frac{34}{2}\) \(x = 17\) Значит, изначально на втором складе было 17 телевизоров. Изначально на первом складе было \(3x = 3 \cdot 17 = 51\) телевизор. Проверим: Изначально: 1-й склад - 51 телевизор, 2-й склад - 17 телевизоров. После изменений: 1-й склад: \(51 - 20 = 31\) телевизор. 2-й склад: \(17 + 14 = 31\) телевизор. Количество телевизоров стало поровну, значит, решение верное. Ответ: Изначально на первом складе было 51 телевизор, на втором складе - 17 телевизоров.