Задача 1:
Вычислите \(\frac{\sqrt{60}}{\sqrt{15}}\).
Решение:
Для того чтобы вычислить это выражение, мы можем использовать свойство квадратных корней: \(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}\).
1. Применим это свойство к нашему выражению:
\[\frac{\sqrt{60}}{\sqrt{15}} = \sqrt{\frac{60}{15}}\]2. Выполним деление под знаком корня:
\[\frac{60}{15} = 4\]3. Теперь вычислим квадратный корень из полученного числа:
\[\sqrt{4} = 2\]Ответ:
2
***
Задача 2:
Найдите значение выражения \(\sqrt{2 \cdot 49^2} \cdot \sqrt{2 \cdot 5^4}\).
Решение:
Для того чтобы найти значение этого выражения, мы можем использовать свойство квадратных корней: \(\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}\).
1. Объединим оба корня в один:
\[\sqrt{2 \cdot 49^2} \cdot \sqrt{2 \cdot 5^4} = \sqrt{(2 \cdot 49^2) \cdot (2 \cdot 5^4)}\]2. Перегруппируем множители под корнем:
\[\sqrt{2 \cdot 2 \cdot 49^2 \cdot 5^4} = \sqrt{2^2 \cdot 49^2 \cdot 5^4}\]3. Теперь используем свойство \(\sqrt{a^2} = a\) (для положительных \(a\)) и \(\sqrt{a^n} = a^{n/2}\):
\[\sqrt{2^2 \cdot 49^2 \cdot 5^4} = \sqrt{2^2} \cdot \sqrt{49^2} \cdot \sqrt{5^4}\] \[= 2 \cdot 49 \cdot 5^{4/2}\] \[= 2 \cdot 49 \cdot 5^2\]4. Вычислим \(5^2\):
\[5^2 = 25\]5. Подставим это значение обратно и выполним умножение:
\[2 \cdot 49 \cdot 25\] \[= (2 \cdot 25) \cdot 49\] \[= 50 \cdot 49\]6. Вычислим \(50 \cdot 49\):
\[50 \cdot 49 = 50 \cdot (50 - 1) = 50 \cdot 50 - 50 \cdot 1 = 2500 - 50 = 2450\]Ответ:
2450