Задача:
Найдите значение выражения \(5\sqrt{13} \cdot 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{39}\).
Решение:
Для того чтобы найти значение этого выражения, мы можем использовать свойства умножения квадратных корней: \(\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}\) и переместительный закон умножения.
1. Сначала перемножим числовые множители и множители под корнями отдельно:
\[(5 \cdot 2) \cdot (\sqrt{13} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{39})\]2. Вычислим произведение числовых множителей:
\[5 \cdot 2 = 10\]3. Теперь объединим все множители под одним знаком корня:
\[\sqrt{13} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{39} = \sqrt{13 \cdot 3 \cdot 39}\]4. Заметим, что \(39 = 3 \cdot 13\). Подставим это в выражение под корнем:
\[\sqrt{13 \cdot 3 \cdot (3 \cdot 13)}\]5. Перегруппируем множители под корнем, чтобы выделить полные квадраты:
\[\sqrt{(13 \cdot 13) \cdot (3 \cdot 3)} = \sqrt{13^2 \cdot 3^2}\]6. Теперь извлечем квадратные корни из полных квадратов:
\[\sqrt{13^2 \cdot 3^2} = \sqrt{13^2} \cdot \sqrt{3^2} = 13 \cdot 3\]7. Вычислим произведение:
\[13 \cdot 3 = 39\]8. Теперь умножим числовой множитель, который мы получили в шаге 2, на результат из шага 7:
\[10 \cdot 39\]9. Выполним умножение:
\[10 \cdot 39 = 390\]Ответ:
390