Задача:
Какое из данных ниже чисел является значением выражения \(\frac{\sqrt{726}}{11}\)?
Варианты ответа:
1) \(\sqrt{66}\)
2) \(33\)
3) \(11\sqrt{6}\)
4) \(\sqrt{6}\)
Решение:
Для того чтобы упростить выражение \(\frac{\sqrt{726}}{11}\), нам нужно разложить число под корнем на множители, чтобы выделить полный квадрат.
1. Попробуем разделить 726 на 11, так как 11 находится в знаменателе. Это может помочь упростить выражение:
\[726 \div 11 = 66\]Значит, \(726 = 11 \cdot 66\).
2. Теперь подставим это разложение под корень:
\[\frac{\sqrt{11 \cdot 66}}{11}\]3. Используем свойство квадратных корней \(\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\):
\[\frac{\sqrt{11} \cdot \sqrt{66}}{11}\]4. Мы знаем, что \(11 = \sqrt{11} \cdot \sqrt{11}\). Подставим это в знаменатель:
\[\frac{\sqrt{11} \cdot \sqrt{66}}{\sqrt{11} \cdot \sqrt{11}}\]5. Сократим \(\sqrt{11}\) в числителе и знаменателе:
\[\frac{\sqrt{66}}{\sqrt{11}}\]6. Теперь используем свойство \(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}\):
\[\sqrt{\frac{66}{11}}\]7. Выполним деление под корнем:
\[\sqrt{6}\]Проверка альтернативным способом:
Можно также попробовать разложить 726 на множители, чтобы найти полные квадраты:
\(726 = 2 \cdot 363 = 2 \cdot 3 \cdot 121 = 2 \cdot 3 \cdot 11^2\).
Тогда выражение будет выглядеть так:
\[\frac{\sqrt{2 \cdot 3 \cdot 11^2}}{11} = \frac{\sqrt{6 \cdot 11^2}}{11}\]Извлечем \(11^2\) из-под корня:
\[\frac{11\sqrt{6}}{11}\]Сократим 11 в числителе и знаменателе:
\[\sqrt{6}\]Сравнение с вариантами ответа:
Полученное значение \(\sqrt{6}\) соответствует варианту ответа 4.
Ответ:
4) \(\sqrt{6}\)