Задача:
Значение какого из данных выражений является наибольшим?
1) \(\frac{\sqrt{33}}{\sqrt{3}}\)
2) \(\sqrt{16}\)
3) \(2\sqrt{2}\)
4) \((\sqrt{2})^3\)
Решение:
Для того чтобы сравнить значения выражений, нужно вычислить каждое из них и привести к наиболее простому виду.
1) Вычислим первое выражение:
\[\frac{\sqrt{33}}{\sqrt{3}}\]Используем свойство \(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}\):
\[\sqrt{\frac{33}{3}} = \sqrt{11}\]Приблизительное значение \(\sqrt{11}\) находится между \(\sqrt{9}=3\) и \(\sqrt{16}=4\). Точнее, \(\sqrt{11} \approx 3.317\).
2) Вычислим второе выражение:
\[\sqrt{16}\]Это точное значение:
\[\sqrt{16} = 4\]3) Вычислим третье выражение:
\[2\sqrt{2}\]Мы знаем, что \(\sqrt{2} \approx 1.414\). Тогда:
\[2\sqrt{2} \approx 2 \cdot 1.414 = 2.828\]Чтобы сравнить его с другими числами, можно внести 2 под корень: \(2\sqrt{2} = \sqrt{2^2 \cdot 2} = \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{8}\).
Приблизительное значение \(\sqrt{8}\) находится между \(\sqrt{4}=2\) и \(\sqrt{9}=3\).
4) Вычислим четвертое выражение:
\[(\sqrt{2})^3\]Это можно записать как \((\sqrt{2})^2 \cdot \sqrt{2}\):
\[(\sqrt{2})^2 \cdot \sqrt{2} = 2 \cdot \sqrt{2}\]Это выражение такое же, как и третье выражение. Значит, его значение также \(\approx 2.828\) или \(\sqrt{8}\).
Сравнение значений:
Теперь сравним полученные значения:
1) \(\sqrt{11} \approx 3.317\)
2) \(4\)
3) \(2\sqrt{2} = \sqrt{8} \approx 2.828\)
4) \((\sqrt{2})^3 = 2\sqrt{2} = \sqrt{8} \approx 2.828\)
Наибольшее значение из всех — это 4.
Ответ:
2