Задача: Площадь трапеции
В равнобедренной трапеции основания равны 16 и 22, а угол при основании равен 45°. Чему равна площадь трапеции?
Решение:
Для нахождения площади трапеции используется формула:
\[S = \frac{a + b}{2} \cdot h\]где:
- \(S\) — площадь трапеции
- \(a\) и \(b\) — длины оснований трапеции
- \(h\) — высота трапеции
Из условия задачи нам даны следующие значения:
- Первое основание \(a = 16\)
- Второе основание \(b = 22\)
- Угол при основании \(\alpha = 45^\circ\)
Нам нужно найти высоту \(h\).
1. Проведем две высоты из вершин меньшего основания к большему основанию. Эти высоты отсекут от трапеции два прямоугольных треугольника по краям и прямоугольник посередине.
2. Длина отрезка большего основания, который находится под одним из прямоугольных треугольников, равна половине разности длин оснований:
\[x = \frac{b - a}{2}\] \[x = \frac{22 - 16}{2}\] \[x = \frac{6}{2}\] \[x = 3\]3. Рассмотрим один из прямоугольных треугольников. У него один катет равен \(x = 3\), а угол при основании равен \(45^\circ\). Второй катет этого треугольника — это высота трапеции \(h\).
4. В прямоугольном треугольнике тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету:
\[\tan(\alpha) = \frac{h}{x}\]Мы знаем, что \(\tan(45^\circ) = 1\).
Значит:
\[1 = \frac{h}{3}\]Отсюда находим высоту \(h\):
\[h = 3 \cdot 1\] \[h = 3\]5. Теперь, когда мы знаем высоту, можем найти площадь трапеции:
\[S = \frac{a + b}{2} \cdot h\] \[S = \frac{16 + 22}{2} \cdot 3\] \[S = \frac{38}{2} \cdot 3\] \[S = 19 \cdot 3\] \[S = 57\]Ответ: Площадь трапеции равна 57.