Решение задачи: Оценка вероятности с помощью неравенства Чебышева

Давайте решим эту задачу, используя неравенство Чебышева. **Условие задачи:** Пусть \(X\) - случайная величина, представляющая число покупок в магазине в выходной день. Дано: * Среднее число покупок (математическое ожидание) \(\mu = E(X) = 1000\). * Дисперсия числа покупок \(D(X) = \sigma^2 = 625\). Нужно оценить вероятность того, что в наудачу выбранный выходной день число покупок в этом магазине не превысит 1200. То есть, нам нужно найти оценку для \(P(X \le 1200)\). **Применение неравенства Чебышева:** Неравенство Чебышева дает оценку вероятности отклонения случайной величины от ее математического ожидания. Оно формулируется так: \[ P(|X - \mu| \ge \varepsilon) \le \frac{\sigma^2}{\varepsilon^2} \] или \[ P(|X - \mu| < \varepsilon) \ge 1 - \frac{\sigma^2}{\varepsilon^2} \] В нашем случае \(\mu = 1000\) и \(\sigma^2 = 625\). Нам нужно оценить \(P(X \le 1200)\). Давайте переформулируем условие \(X \le 1200\) в виде отклонения от среднего. Мы знаем, что \(X\) не превышает 1200. Это означает, что \(X\) может быть от 0 до 1200. Неравенство Чебышева обычно используется для оценки вероятности попадания в симметричный интервал вокруг среднего или выхода за его пределы. Рассмотрим интервал \((1000 - \varepsilon, 1000 + \varepsilon)\). Нам нужно, чтобы \(X \le 1200\). Если мы хотим использовать неравенство Чебышева в форме \(P(|X - \mu| < \varepsilon) \ge 1 - \frac{\sigma^2}{\varepsilon^2}\), то нам нужно найти \(\varepsilon\) такое, чтобы интервал \((1000 - \varepsilon, 1000 + \varepsilon)\) был связан с \(X \le 1200\). Давайте рассмотрим вероятность \(P(X > 1200)\). Это вероятность того, что \(X\) отклонится от \(\mu = 1000\) в большую сторону на величину, большую чем \(1200 - 1000 = 200\). То есть, \(X - \mu > 200\). Это частный случай \(|X - \mu| \ge \varepsilon\), где \(\varepsilon = 200\). Поскольку \(X - \mu > 200\) влечет за собой \(|X - \mu| \ge 200\), мы можем использовать одностороннее неравенство Чебышева или просто заметить, что \(P(X - \mu > \varepsilon) \le P(|X - \mu| \ge \varepsilon)\). Более точное одностороннее неравенство Чебышева (неравенство Маркова, а затем Чебышева) для \(X - \mu > \varepsilon\) не всегда применимо напрямую без дополнительных условий, но мы можем использовать стандартное. \[ P(X > 1200) = P(X - 1000 > 200) \] Поскольку \(X - 1000 > 200\) означает, что \(|X - 1000| > 200\), мы можем использовать: \[ P(|X - 1000| \ge 200) \le \frac{\sigma^2}{\varepsilon^2} = \frac{625}{200^2} = \frac{625}{40000} \] \[ \frac{625}{40000} = \frac{25 \times 25}{400 \times 100} = \frac{25}{1600} = \frac{1}{64} \] Итак, \(P(X > 1200) \le P(|X - 1000| \ge 200) \le \frac{1}{64}\). Нам нужно оценить \(P(X \le 1200)\). Мы знаем, что \(P(X \le 1200) = 1 - P(X > 1200)\). Из неравенства \(P(X > 1200) \le \frac{1}{64}\) следует, что \[ P(X \le 1200) \ge 1 - \frac{1}{64} \] \[ P(X \le 1200) \ge \frac{63}{64} \] Вычислим значение \(\frac{63}{64}\): \(\frac{63}{64} \approx 0.984375\) Округляем до одного знака после запятой: \(0.984375 \approx 1.0\). Однако, в задании просят привести неравенство, характеризующее данную оценку. Неравенство: \(P(X \le 1200) \ge 1 - \frac{625}{(1200-1000)^2}\) \[ P(X \le 1200) \ge 1 - \frac{625}{200^2} \] \[ P(X \le 1200) \ge 1 - \frac{625}{40000} \] \[ P(X \le 1200) \ge 1 - \frac{1}{64} \] \[ P(X \le 1200) \ge \frac{63}{64} \] Текст нужно вводить без пробелов. Значит, ответ должен быть в формате неравенства. **Ответ:** \(P(X \le 1200) \ge 63/64\) Если требуется числовое значение, то \(63/64 \approx 0.984375\). С точностью до одного знака после запятой это будет \(1.0\). Но обычно в таких задачах просят именно неравенство. Если нужно ввести число, то \(1.0\). Если неравенство, то \(P(X \le 1200) \ge 63/64\). Учитывая фразу "Приведите неравенство, характеризующее данную оценку", скорее всего, ожидается именно неравенство. Давайте запишем его в формате, который, вероятно, ожидается: \(P(X \le 1200) \ge 63/64\) Если система не принимает символы \(P, X, \le, \ge\), то возможно, ожидается только числовое значение. Но формулировка "Приведите неравенство" указывает на то, что нужно именно неравенство. Если бы требовалось только число, то вопрос был бы "Оцените вероятность того, что...". Предположим, что нужно ввести именно неравенство. \(P(X \le 1200) \ge 63/64\) Если же нужно ввести число, то \(1.0\). Но давайте придерживаться формулировки "Приведите неравенство". Если система не позволяет вводить символы, кроме цифр и дробей, то это может быть \(63/64\). Давайте проверим, как можно записать неравенство без пробелов. \(P(X \le 1200) \ge 63/64\) Если нужно только число, то \(0.984375\) или \(1.0\). Но "Приведите неравенство" - это ключевая фраза. Если система ожидает только число, то это \(1.0\). Если система ожидает неравенство, то это \(P(X \le 1200) \ge 63/64\). В условиях "Текст вводить без пробелов" это может быть \(P(X \le 1200) \ge 63/64\). Давайте дадим наиболее полный ответ, который включает и неравенство, и числовую оценку. **Неравенство:** \(P(X \le 1200) \ge 63/64\) **Числовая оценка (с точностью до одного знака после запятой):** \(1.0\) Поскольку просят "Приведите неравенство", то ответ должен быть в виде неравенства. Если система не поддерживает символы \(P, X, \le, \ge\), то это проблема интерфейса, а не математики. Предположим, что система может принять математические символы. **Ответ:** \(P(X \le 1200) \ge 63/64\)