Решение задачи: Коэффициент корреляции Пирсона

Давайте решим эту задачу по нахождению коэффициента корреляции Пирсона по заданной корреляционной таблице. Корреляционная таблица показывает частоты \(n_{ij}\) для каждой пары значений \((x_i, y_j)\). Значения \(X\): \(x_1=3, x_2=5, x_3=7\) Значения \(Y\): \(y_1=2, y_2=4, y_3=6, y_4=8\) Таблица частот \(n_{ij}\): | X\Y | 3 | 5 | 7 | Сумма по Y (\(n_j\)) | |-----|---|---|---|--------------------| | 2 | - | - | 3 | 3 | | 4 | - | 3 | 2 | 5 | | 6 | 1 | 4 | - | 5 | | 8 | 5 | 2 | - | 7 | | Сумма по X (\(n_i\)) | 6 | 9 | 5 | \(N = 20\) | Сначала найдем общую сумму частот \(N\): \(N = 3 + 5 + 5 + 7 = 20\)

1. Выборочные средние \(\bar{x}\) и \(\bar{y}\)

Формулы для выборочных средних: \[ \bar{x} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{k} x_i n_i \] \[ \bar{y} = \frac{1}{N} \sum_{j=1}^{m} y_j n_j \] где \(n_i\) - сумма частот для \(x_i\), \(n_j\) - сумма частот для \(y_j\). **Для \(\bar{x}\):** \(x_i\) значения: 3, 5, 7 \(n_i\) (суммы по столбцам): 6, 9, 5 \[ \bar{x} = \frac{1}{20} (3 \times 6 + 5 \times 9 + 7 \times 5) = \frac{1}{20} (18 + 45 + 35) = \frac{1}{20} (98) = 4.9 \] **Выборочное среднее \(\bar{x} = 4.9\)** **Для \(\bar{y}\):** \(y_j\) значения: 2, 4, 6, 8 \(n_j\) (суммы по строкам): 3, 5, 5, 7 \[ \bar{y} = \frac{1}{20} (2 \times 3 + 4 \times 5 + 6 \times 5 + 8 \times 7) = \frac{1}{20} (6 + 20 + 30 + 56) = \frac{1}{20} (112) = 5.6 \] **Выборочное среднее \(\bar{y} = 5.6\)**

2. Выборочные дисперсии \(S_x^2\) и \(S_y^2\)

Формулы для выборочных дисперсий (смещенные оценки, так как для коэффициента корреляции Пирсона используются именно они): \[ S_x^2 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{k} (x_i - \bar{x})^2 n_i = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{k} x_i^2 n_i - \bar{x}^2 \] \[ S_y^2 = \frac{1}{N} \sum_{j=1}^{m} (y_j - \bar{y})^2 n_j = \frac{1}{N} \sum_{j=1}^{m} y_j^2 n_j - \bar{y}^2 \] **Для \(S_x^2\):** Найдем \(\sum x_i^2 n_i\): \(3^2 \times 6 + 5^2 \times 9 + 7^2 \times 5 = 9 \times 6 + 25 \times 9 + 49 \times 5 = 54 + 225 + 245 = 524\) \[ S_x^2 = \frac{524}{20} - (4.9)^2 = 26.2 - 24.01 = 2.19 \] **Выборочная дисперсия \(S_x^2 = 2.19\)** **Для \(S_y^2\):** Найдем \(\sum y_j^2 n_j\): \(2^2 \times 3 + 4^2 \times 5 + 6^2 \times 5 + 8^2 \times 7 = 4 \times 3 + 16 \times 5 + 36 \times 5 + 64 \times 7 = 12 + 80 + 180 + 448 = 720\) \[ S_y^2 = \frac{720}{20} - (5.6)^2 = 36 - 31.36 = 4.64 \] **Выборочная дисперсия \(S_y^2 = 4.64\)**

3. Начальный смешанный момент второго порядка (ковариация)

Коэффициент корреляции Пирсона \(r\) вычисляется по формуле: \[ r = \frac{K_{xy}}{S_x S_y} \] где \(K_{xy}\) - выборочная ковариация, \(S_x\) и \(S_y\) - выборочные стандартные отклонения. Выборочная ковариация \(K_{xy}\) может быть найдена как: \[ K_{xy} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{k} \sum_{j=1}^{m} x_i y_j n_{ij} - \bar{x} \bar{y} \] Начальный смешанный момент второго порядка - это \(\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{k} \sum_{j=1}^{m} x_i y_j n_{ij}\). Вычислим \(\sum x_i y_j n_{ij}\): * \(x=3\): * \(y=6\): \(3 \times 6 \times 1 = 18\) * \(y=8\): \(3 \times 8 \times 5 = 120\) * \(x=5\): * \(y=4\): \(5 \times 4 \times 3 = 60\) * \(y=6\): \(5 \times 6 \times 4 = 120\) * \(y=8\): \(5 \times 8 \times 2 = 80\) * \(x=7\): * \(y=2\): \(7 \times 2 \times 3 = 42\) * \(y=4\): \(7 \times 4 \times 2 = 56\) Сумма: \(18 + 120 + 60 + 120 + 80 + 42 + 56 = 496\) Начальный смешанный момент второго порядка: \[ M_{xy} = \frac{1}{N} \sum x_i y_j n_{ij} = \frac{496}{20} = 24.8 \] **Начальный смешанный момент второго порядка = 24.8** Теперь найдем ковариацию \(K_{xy}\): \[ K_{xy} = M_{xy} - \bar{x} \bar{y} = 24.8 - (4.9 \times 5.6) = 24.8 - 27.44 = -2.64 \]

4. Коэффициент корреляции Пирсона

\[ r = \frac{K_{xy}}{\sqrt{S_x^2} \sqrt{S_y^2}} = \frac{-2.64}{\sqrt{2.19} \sqrt{4.64}} \] Вычислим корни: \(\sqrt{2.19} \approx 1.480\) \(\sqrt{4.64} \approx 2.154\) \[ r = \frac{-2.64}{1.480 \times 2.154} = \frac{-2.64}{3.18792} \approx -0.82819 \] Округлим до трех знаков после запятой: **Коэффициент корреляции = -0.828** **Итоговые ответы:** Выборочные средние \(\bar{x} = \) **4.9** \(\bar{y} = \) **5.6** Выборочные дисперсии \(S_x^2 = \) **2.19** \(S_y^2 = \) **4.64** Начальный смешанный момент второго порядка = **24.8** Коэффициент корреляции с точностью до трех знаков после запятой = **-0.828**