Решение задачи: Коэффициент корреляции Пирсона

Решение задачи по нахождению коэффициента корреляции Пирсона. Для начала, перепишем данную корреляционную таблицу в более удобный вид, чтобы посчитать все необходимые значения. Таблица частот \(n_{ij}\): | \(X \setminus Y\) | 2 | 4 | 6 | 8 | Сумма по \(Y\) (\(n_i\)) | |---|---|---|---|---|---| | 3 | - | - | 1 | 5 | 6 | | 5 | - | 3 | 4 | 2 | 9 | | 7 | 3 | 2 | - | - | 5 | | Сумма по \(X\) (\(m_j\)) | 3 | 5 | 5 | 7 | \(N = 20\) | Здесь \(N\) - общий объем выборки, который равен сумме всех частот. \(N = 1 + 5 + 3 + 4 + 2 + 3 + 2 = 20\).

1. Выборочные средние \(\bar{x}\) и \(\bar{y}\)

Формулы для выборочных средних: \[ \bar{x} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{k} x_i n_i \] \[ \bar{y} = \frac{1}{N} \sum_{j=1}^{m} y_j m_j \] Сначала найдем суммы произведений \(x_i n_i\) и \(y_j m_j\). Для \(X\): \(x_1 n_1 = 3 \cdot 6 = 18\) \(x_2 n_2 = 5 \cdot 9 = 45\) \(x_3 n_3 = 7 \cdot 5 = 35\) Сумма по \(X\): \(18 + 45 + 35 = 98\) Для \(Y\): \(y_1 m_1 = 2 \cdot 3 = 6\) \(y_2 m_2 = 4 \cdot 5 = 20\) \(y_3 m_3 = 6 \cdot 5 = 30\) \(y_4 m_4 = 8 \cdot 7 = 56\) Сумма по \(Y\): \(6 + 20 + 30 + 56 = 112\) Теперь вычислим выборочные средние: \[ \bar{x} = \frac{98}{20} = 4.9 \] \[ \bar{y} = \frac{112}{20} = 5.6 \] Выборочное среднее \(\bar{x} = 4.9\) Выборочное среднее \(\bar{y} = 5.6\)

2. Выборочные дисперсии \(S_x^2\) и \(S_y^2\)

Формулы для выборочных дисперсий: \[ S_x^2 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{k} x_i^2 n_i - (\bar{x})^2 \] \[ S_y^2 = \frac{1}{N} \sum_{j=1}^{m} y_j^2 m_j - (\bar{y})^2 \] Сначала найдем суммы произведений \(x_i^2 n_i\) и \(y_j^2 m_j\). Для \(X\): \(x_1^2 n_1 = 3^2 \cdot 6 = 9 \cdot 6 = 54\) \(x_2^2 n_2 = 5^2 \cdot 9 = 25 \cdot 9 = 225\) \(x_3^2 n_3 = 7^2 \cdot 5 = 49 \cdot 5 = 245\) Сумма по \(X\): \(54 + 225 + 245 = 524\) Для \(Y\): \(y_1^2 m_1 = 2^2 \cdot 3 = 4 \cdot 3 = 12\) \(y_2^2 m_2 = 4^2 \cdot 5 = 16 \cdot 5 = 80\) \(y_3^2 m_3 = 6^2 \cdot 5 = 36 \cdot 5 = 180\) \(y_4^2 m_4 = 8^2 \cdot 7 = 64 \cdot 7 = 448\) Сумма по \(Y\): \(12 + 80 + 180 + 448 = 720\) Теперь вычислим выборочные дисперсии: \[ S_x^2 = \frac{524}{20} - (4.9)^2 = 26.2 - 24.01 = 2.19 \] \[ S_y^2 = \frac{720}{20} - (5.6)^2 = 36 - 31.36 = 4.64 \] Выборочная дисперсия \(S_x^2 = 2.19\) Выборочная дисперсия \(S_y^2 = 4.64\)

3. Начальный смешанный момент второго порядка \(M_{xy}\)

Формула для начального смешанного момента второго порядка: \[ M_{xy} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{k} \sum_{j=1}^{m} x_i y_j n_{ij} \] Вычислим сумму произведений \(x_i y_j n_{ij}\): \(3 \cdot 6 \cdot 1 = 18\) (для \(X=3, Y=6\)) \(3 \cdot 8 \cdot 5 = 120\) (для \(X=3, Y=8\)) \(5 \cdot 4 \cdot 3 = 60\) (для \(X=5, Y=4\)) \(5 \cdot 6 \cdot 4 = 120\) (для \(X=5, Y=6\)) \(5 \cdot 8 \cdot 2 = 80\) (для \(X=5, Y=8\)) \(7 \cdot 2 \cdot 3 = 42\) (для \(X=7, Y=2\)) \(7 \cdot 4 \cdot 2 = 56\) (для \(X=7, Y=4\)) Сумма всех произведений: \(18 + 120 + 60 + 120 + 80 + 42 + 56 = 496\) Теперь вычислим начальный смешанный момент второго порядка: \[ M_{xy} = \frac{496}{20} = 24.8 \] Начальный смешанный момент второго порядка \(M_{xy} = 24.8\)

4. Коэффициент корреляции Пирсона \(r_{xy}\)

Формула для коэффициента корреляции Пирсона: \[ r_{xy} = \frac{M_{xy} - \bar{x}\bar{y}}{\sqrt{S_x^2 S_y^2}} \] Подставим найденные значения: \[ r_{xy} = \frac{24.8 - (4.9)(5.6)}{\sqrt{(2.19)(4.64)}} \] \[ r_{xy} = \frac{24.8 - 27.44}{\sqrt{10.1616}} \] \[ r_{xy} = \frac{-2.64}{3.187726} \] \[ r_{xy} \approx -0.82819 \] Округлим до трех знаков после запятой: \[ r_{xy} \approx -0.828 \] Коэффициент корреляции с точностью до трех знаков после запятой \(-0.828\)

Итоговые ответы:

Выборочное среднее \(\bar{x} = 4.9\) Выборочное среднее \(\bar{y} = 5.6\) Выборочная дисперсия \(S_x^2 = 2.19\) Выборочная дисперсия \(S_y^2 = 4.64\) Начальный смешанный момент второго порядка \(24.8\) Коэффициент корреляции с точностью до трех знаков после запятой \(-0.828\)