Нахождение длин сторон треугольника ABC по координатам вершин

Хорошо, давайте решим задачи из Варианта №15. Даны вершины треугольника ABC: \(A(-8, 2)\), \(B(-1, 5)\), \(C(2, -4)\).

1. Найти длины всех его сторон.

Длина отрезка между точками \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\) вычисляется по формуле: \(d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\) Длина стороны AB: \(AB = \sqrt{(-1 - (-8))^2 + (5 - 2)^2} = \sqrt{(-1 + 8)^2 + (3)^2} = \sqrt{7^2 + 3^2} = \sqrt{49 + 9} = \sqrt{58}\) Длина стороны BC: \(BC = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (-4 - 5)^2} = \sqrt{(2 + 1)^2 + (-9)^2} = \sqrt{3^2 + (-9)^2} = \sqrt{9 + 81} = \sqrt{90} = 3\sqrt{10}\) Длина стороны AC: \(AC = \sqrt{(2 - (-8))^2 + (-4 - 2)^2} = \sqrt{(2 + 8)^2 + (-6)^2} = \sqrt{10^2 + (-6)^2} = \sqrt{100 + 36} = \sqrt{136} = 2\sqrt{34}\) Ответ: Длины сторон треугольника: \(AB = \sqrt{58}\) \(BC = 3\sqrt{10}\) \(AC = 2\sqrt{34}\)

2. Составить уравнения всех его сторон.

Уравнение прямой, проходящей через две точки \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\), можно найти по формуле: \[\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}\] Уравнение стороны AB (точки \(A(-8, 2)\), \(B(-1, 5)\)): \[\frac{x - (-8)}{-1 - (-8)} = \frac{y - 2}{5 - 2}\] \[\frac{x + 8}{7} = \frac{y - 2}{3}\] \(3(x + 8) = 7(y - 2)\) \(3x + 24 = 7y - 14\) \(3x - 7y + 24 + 14 = 0\) \(3x - 7y + 38 = 0\) Уравнение стороны BC (точки \(B(-1, 5)\), \(C(2, -4)\)): \[\frac{x - (-1)}{2 - (-1)} = \frac{y - 5}{-4 - 5}\] \[\frac{x + 1}{3} = \frac{y - 5}{-9}\] \(-9(x + 1) = 3(y - 5)\) Разделим обе части на 3: \(-3(x + 1) = y - 5\) \(-3x - 3 = y - 5\) \(-3x - y - 3 + 5 = 0\) \(-3x - y + 2 = 0\) \(3x + y - 2 = 0\) Уравнение стороны AC (точки \(A(-8, 2)\), \(C(2, -4)\)): \[\frac{x - (-8)}{2 - (-8)} = \frac{y - 2}{-4 - 2}\] \[\frac{x + 8}{10} = \frac{y - 2}{-6}\] \(-6(x + 8) = 10(y - 2)\) Разделим обе части на 2: \(-3(x + 8) = 5(y - 2)\) \(-3x - 24 = 5y - 10\) \(-3x - 5y - 24 + 10 = 0\) \(-3x - 5y - 14 = 0\) \(3x + 5y + 14 = 0\) Ответ: Уравнения сторон треугольника: AB: \(3x - 7y + 38 = 0\) BC: \(3x + y - 2 = 0\) AC: \(3x + 5y + 14 = 0\)

3. Составить уравнения медианы, высоты, найти тангенс внутреннего угла при вершине B.

Уравнение медианы BM_1 (где M_1 - середина AC)

Координаты середины отрезка \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\) находятся по формуле: \[M_1 = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)\] Найдем координаты точки \(M_1\) - середины стороны AC (точки \(A(-8, 2)\), \(C(2, -4)\)): \[M_1 = \left(\frac{-8 + 2}{2}, \frac{2 + (-4)}{2}\right) = \left(\frac{-6}{2}, \frac{-2}{2}\right) = (-3, -1)\] Теперь составим уравнение медианы \(BM_1\), проходящей через точки \(B(-1, 5)\) и \(M_1(-3, -1)\): \[\frac{x - (-1)}{-3 - (-1)} = \frac{y - 5}{-1 - 5}\] \[\frac{x + 1}{-2} = \frac{y - 5}{-6}\] \(-6(x + 1) = -2(y - 5)\) Разделим обе части на -2: \(3(x + 1) = y - 5\) \(3x + 3 = y - 5\) \(3x - y + 3 + 5 = 0\) \(3x - y + 8 = 0\)

Уравнение высоты BH_1 (где H_1 - основание высоты на AC)

Высота \(BH_1\) перпендикулярна стороне AC. Угловой коэффициент прямой AC (из уравнения \(3x + 5y + 14 = 0\)): \(5y = -3x - 14\) \(y = -\frac{3}{5}x - \frac{14}{5}\) Угловой коэффициент \(k_{AC} = -\frac{3}{5}\). Угловой коэффициент перпендикулярной прямой \(k_{BH_1}\) равен: \(k_{BH_1} = -\frac{1}{k_{AC}} = -\frac{1}{-\frac{3}{5}} = \frac{5}{3}\) Теперь составим уравнение высоты \(BH_1\), проходящей через точку \(B(-1, 5)\) с угловым коэффициентом \(k = \frac{5}{3}\): \(y - y_1 = k(x - x_1)\) \(y - 5 = \frac{5}{3}(x - (-1))\) \(y - 5 = \frac{5}{3}(x + 1)\) Умножим обе части на 3: \(3(y - 5) = 5(x + 1)\) \(3y - 15 = 5x + 5\) \(5x - 3y + 5 + 15 = 0\) \(5x - 3y + 20 = 0\)

Тангенс внутреннего угла при вершине B

Угол при вершине B образован сторонами BA и BC. Найдем угловые коэффициенты прямых BA и BC. Прямая BA (точки \(B(-1, 5)\), \(A(-8, 2)\)): \(k_{BA} = \frac{2 - 5}{-8 - (-1)} = \frac{-3}{-7} = \frac{3}{7}\) Прямая BC (точки \(B(-1, 5)\), \(C(2, -4)\)): \(k_{BC} = \frac{-4 - 5}{2 - (-1)} = \frac{-9}{3} = -3\) Тангенс угла \(\phi\) между двумя прямыми с угловыми коэффициентами \(k_1\) и \(k_2\) вычисляется по формуле: \[\tan \phi = \left|\frac{k_2 - k_1}{1 + k_1 k_2}\right|\] В нашем случае \(k_1 = k_{BA} = \frac{3}{7}\) и \(k_2 = k_{BC} = -3\). \[\tan B = \left|\frac{-3 - \frac{3}{7}}{1 + \frac{3}{7} \cdot (-3)}\right| = \left|\frac{-\frac{21}{7} - \frac{3}{7}}{1 - \frac{9}{7}}\right| = \left|\frac{-\frac{24}{7}}{\frac{7}{7} - \frac{9}{7}}\right| = \left|\frac{-\frac{24}{7}}{-\frac{2}{7}}\right| = \left|\frac{24}{2}\right| = 12\] Ответ: Уравнение медианы \(BM_1\): \(3x - y + 8 = 0\) Уравнение высоты \(BH_1\): \(5x - 3y + 20 = 0\) Тангенс внутреннего угла при вершине B: \(\tan B = 12\)

4. Написать уравнение прямой (AM), где точка M делит сторону BC в соотношении \(\frac{BM}{MC} = \frac{2}{3}\).

Координаты точки M, делящей отрезок BC (точки \(B(-1, 5)\), \(C(2, -4)\)) в отношении \(\lambda = \frac{BM}{MC} = \frac{2}{3}\), вычисляются по формулам: \[x_M = \frac{x_B + \lambda x_C}{1 + \lambda}\] \[y_M = \frac{y_B + \lambda y_C}{1 + \lambda}\] Подставим значения: \[x_M = \frac{-1 + \frac{2}{3} \cdot 2}{1 + \frac{2}{3}} = \frac{-1 + \frac{4}{3}}{\frac{5}{3}} = \frac{-\frac{3}{3} + \frac{4}{3}}{\frac{5}{3}} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{5}{3}} = \frac{1}{5}\] \[y_M = \frac{5 + \frac{2}{3} \cdot (-4)}{1 + \frac{2}{3}} = \frac{5 - \frac{8}{3}}{\frac{5}{3}} = \frac{\frac{15}{3} - \frac{8}{3}}{\frac{5}{3}} = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{5}{3}} = \frac{7}{5}\] Итак, координаты точки \(M\left(\frac{1}{5}, \frac{7}{5}\right)\). Теперь составим уравнение прямой AM, проходящей через точки \(A(-8, 2)\) и \(M\left(\frac{1}{5}, \frac{7}{5}\right)\): \[\frac{x - (-8)}{\frac{1}{5} - (-8)} = \frac{y - 2}{\frac{7}{5} - 2}\] \[\frac{x + 8}{\frac{1}{5} + \frac{40}{5}} = \frac{y - 2}{\frac{7}{5} - \frac{10}{5}}\] \[\frac{x + 8}{\frac{41}{5}} = \frac{y - 2}{-\frac{3}{5}}\] Умножим обе части на \(\frac{1}{5}\) (или просто уберем знаменатели 5): \[\frac{x + 8}{41} = \frac{y - 2}{-3}\] \(-3(x + 8) = 41(y - 2)\) \(-3x - 24 = 41y - 82\) \(-3x - 41y - 24 + 82 = 0\) \(-3x - 41y + 58 = 0\) \(3x + 41y - 58 = 0\) Ответ: Уравнение прямой AM: \(3x + 41y - 58 = 0\)

5. Установить, какую линию определяет данное уравнение, привести его к каноническому виду, изобразить ее и указать основные характеристики.

Уравнение: \(3x^2 - 6y^2 - 18x + 36y - 39 = 0\) Сгруппируем члены с \(x\) и с \(y\): \((3x^2 - 18x) - (6y^2 - 36y) - 39 = 0\) Вынесем коэффициенты при квадратах: \(3(x^2 - 6x) - 6(y^2 - 6y) - 39 = 0\) Дополним до полных квадратов: Для \(x^2 - 6x\): \((x - 3)^2 - 9\) Для \(y^2 - 6y\): \((y - 3)^2 - 9\) Подставим: \(3((x - 3)^2 - 9) - 6((y - 3)^2 - 9) - 39 = 0\) \(3(x - 3)^2 - 27 - 6(y - 3)^2 + 54 - 39 = 0\) \(3(x - 3)^2 - 6(y - 3)^2 - 27 + 54 - 39 = 0\) \(3(x - 3)^2 - 6(y - 3)^2 - 12 = 0\) Перенесем свободный член в правую часть: \(3(x - 3)^2 - 6(y - 3)^2 = 12\) Разделим все на 12, чтобы получить канонический вид: \[\frac{3(x - 3)^2}{12} - \frac{6(y - 3)^2}{12} = \frac{12}{12}\] \[\frac{(x - 3)^2}{4} - \frac{(y - 3)^2}{2} = 1\] Это уравнение гиперболы. Канонический вид гиперболы: \[\frac{(x - x_0)^2}{a^2} - \frac{(y - y_0)^2}{b^2} = 1\] Сравнивая, получаем: Центр гиперболы: \((x_0, y_0) = (3, 3)\) \(a^2 = 4 \Rightarrow a = 2\) \(b^2 = 2 \Rightarrow b = \sqrt{2}\) Основные характеристики: 1. Центр: \((3, 3)\) 2. Действительная полуось: \(a = 2\) 3. Мнимая полуось: \(b = \sqrt{2}\) 4. Фокусное расстояние \(c\): \(c^2 = a^2 + b^2 = 4 + 2 = 6 \Rightarrow c = \sqrt{6}\) 5. Координаты фокусов: \(F_1(x_0 - c, y_0) = (3 - \sqrt{6}, 3)\) и \(F_2(x_0 + c, y_0) = (3 + \sqrt{6}, 3)\) 6. Координаты вершин: \(V_1(x_0 - a, y_0) = (3 - 2, 3) = (1, 3)\) и \(V_2(x_0 + a, y_0) = (3 + 2, 3) = (5, 3)\) 7. Асимптоты: \[y - y_0 = \pm \frac{b}{a}(x - x_0)\] \[y - 3 = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}(x - 3)\] Асимптоты: \(y = \frac{\sqrt{2}}{2}(x - 3) + 3\) и \(y = -\frac{\sqrt{2}}{2}(x - 3) + 3\) 8. Эксцентриситет: \(e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{6}}{2}\) 9. Директрисы: \[x = x_0 \pm \frac{a}{e} = 3 \pm \frac{2}{\frac{\sqrt{6}}{2}} = 3 \pm \frac{4}{\sqrt{6}} = 3 \pm \frac{4\sqrt{6}}{6} = 3 \pm \frac{2\sqrt{6}}{3}\] Изображение гиперболы: Для построения гиперболы: 1.