Решение: Закон распределения случайной величины X (карты из колоды)

Решим задачу по теории вероятностей. Задача: Из колоды карт в 52 листа достают две карты. Если \(X\) - количество карт красной масти среди отобранных, то закон распределения случайной величины \(X\) ... Для начала определим, сколько карт красной масти и сколько карт черной масти в колоде из 52 карт. В стандартной колоде 4 масти: червы, бубны (красные), трефы, пики (черные). Каждая масть содержит 13 карт. Количество красных карт: \(13 \text{ (червы)} + 13 \text{ (бубны)} = 26\) карт. Количество черных карт: \(13 \text{ (трефы)} + 13 \text{ (пики)} = 26\) карт. Случайная величина \(X\) - количество карт красной масти среди двух отобранных. Возможные значения \(X\): * \(X = 0\): обе карты черной масти. * \(X = 1\): одна карта красной масти, одна карта черной масти. * \(X = 2\): обе карты красной масти. Теперь рассчитаем вероятности для каждого значения \(X\). Общее количество способов выбрать 2 карты из 52: \[C_{52}^2 = \frac{52!}{2!(52-2)!} = \frac{52 \times 51}{2 \times 1} = 26 \times 51 = 1326\] 1. Вероятность \(P(X=0)\) (обе карты черной масти): Количество способов выбрать 2 черные карты из 26: \[C_{26}^2 = \frac{26!}{2!(26-2)!} = \frac{26 \times 25}{2 \times 1} = 13 \times 25 = 325\] \[P(X=0) = \frac{C_{26}^2}{C_{52}^2} = \frac{325}{1326}\] Сократим дробь. Заметим, что \(325 = 25 \times 13\), а \(1326 = 26 \times 51 = 2 \times 13 \times 3 \times 17 = 102 \times 13\). \[P(X=0) = \frac{25 \times 13}{102 \times 13} = \frac{25}{102}\] 2. Вероятность \(P(X=1)\) (одна карта красной масти, одна карта черной масти): Количество способов выбрать 1 красную карту из 26: \(C_{26}^1 = 26\). Количество способов выбрать 1 черную карту из 26: \(C_{26}^1 = 26\). Количество способов выбрать 1 красную и 1 черную карту: \(C_{26}^1 \times C_{26}^1 = 26 \times 26 = 676\). \[P(X=1) = \frac{C_{26}^1 \times C_{26}^1}{C_{52}^2} = \frac{676}{1326}\] Сократим дробь. Разделим числитель и знаменатель на 2: \[P(X=1) = \frac{338}{663}\] Проверим, можно ли сократить дальше. \(663 = 3 \times 221 = 3 \times 13 \times 17\). \(338 = 2 \times 169 = 2 \times 13 \times 13\). \[P(X=1) = \frac{2 \times 13 \times 13}{3 \times 13 \times 17} = \frac{2 \times 13}{3 \times 17} = \frac{26}{51}\] 3. Вероятность \(P(X=2)\) (обе карты красной масти): Количество способов выбрать 2 красные карты из 26: \[C_{26}^2 = \frac{26!}{2!(26-2)!} = \frac{26 \times 25}{2 \times 1} = 13 \times 25 = 325\] \[P(X=2) = \frac{C_{26}^2}{C_{52}^2} = \frac{325}{1326}\] Сократим дробь, как и для \(P(X=0)\): \[P(X=2) = \frac{25}{102}\] Проверим, что сумма вероятностей равна 1: \[P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = \frac{25}{102} + \frac{26}{51} + \frac{25}{102}\] Приведем к общему знаменателю 102: \[\frac{25}{102} + \frac{26 \times 2}{51 \times 2} + \frac{25}{102} = \frac{25}{102} + \frac{52}{102} + \frac{25}{102} = \frac{25 + 52 + 25}{102} = \frac{102}{102} = 1\] Сумма вероятностей равна 1, значит, расчеты верны. Закон распределения случайной величины \(X\) можно представить в виде таблицы:

\(X\)	0	1	2
\(P\)	\(\frac{25}{102}\)	\(\frac{26}{51}\)	\(\frac{25}{102}\)

Сравнивая с предложенными вариантами, видим, что первый вариант совпадает с нашими расчетами. Ответ: Закон распределения случайной величины \(X\) выглядит следующим образом:

\(X\)	0	1	2
\(P\)	\(\frac{25}{102}\)	\(\frac{26}{51}\)	\(\frac{25}{102}\)