Задача: Случайная величина \(X\) распределена по равномерному закону, тогда ее функция плотности...
Решение:
Равномерное распределение на интервале \((a, b)\) имеет функцию плотности вероятности, которая определяется следующим образом:
\[ f(x) = \begin{cases} \frac{1}{b-a}, & \text{если } x \in (a, b) \\ 0, & \text{если } x \notin (a, b) \end{cases} \]Давайте рассмотрим предложенные варианты ответов:
Вариант 1:
\[ f(x)= \begin{cases} \frac{1}{2}, & x \in (-1;1) \\ 0, & x \notin (-1;1) \end{cases} \]Здесь интервал \((a, b)\) равен \((-1, 1)\). Значит, \(a = -1\) и \(b = 1\).
Вычислим \(\frac{1}{b-a}\):
\[ \frac{1}{1 - (-1)} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2} \]Это совпадает с функцией плотности, представленной в первом варианте.
Вариант 2:
\[ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2} \]Это функция плотности стандартного нормального распределения, а не равномерного.
Вариант 3:
\[ f(x)= \begin{cases} \frac{-x}{2}, & x \in (0;2) \\ 0, & x \notin (0;2) \end{cases} \]Эта функция не является константой на интервале \((0, 2)\), поэтому это не равномерное распределение.
Вариант 4:
\[ f(x)= \begin{cases} 0, & x < 0 \\ e^{-x}, & x \ge 0 \end{cases} \]Это функция плотности экспоненциального распределения, а не равномерного.
Вывод:
Единственный вариант, который соответствует функции плотности равномерного распределения, это первый вариант, где \(a = -1\) и \(b = 1\).
Ответ:
Правильный ответ: \[ f(x)= \begin{cases} \frac{1}{2}, & x \in (-1;1) \\ 0, & x \notin (-1;1) \end{cases} \]