Задача: Площадь трапеции
В равнобедренной трапеции высота, проведённая из вершины тупого угла, делит большее основание на два отрезка, больший из которых равен 36. Найдите площадь трапеции, если её высота равна 11.
Решение:
Для нахождения площади трапеции используется формула:
\[S = \frac{a + b}{2} \cdot h\]где:
- \(S\) — площадь трапеции
- \(a\) и \(b\) — длины оснований трапеции (обычно \(a\) — меньшее основание, \(b\) — большее основание)
- \(h\) — высота трапеции
Из условия задачи нам даны следующие значения:
- Высота трапеции \(h = 11\)
- Больший отрезок, на который высота делит большее основание, равен 36.
Рассмотрим равнобедренную трапецию. Пусть её основания равны \(a\) и \(b\), где \(b\) — большее основание, \(a\) — меньшее основание. Проведем две высоты из вершин меньшего основания к большему основанию. Эти высоты отсекут от трапеции два прямоугольных треугольника по краям и прямоугольник посередине.
Длина отрезка большего основания, который находится под одним из прямоугольных треугольников (обозначим его \(x\)), равна половине разности длин оснований:
\[x = \frac{b - a}{2}\]Высота, проведенная из вершины тупого угла, делит большее основание \(b\) на два отрезка. Один из этих отрезков — это \(x\), а другой — это \(a + x\).
Больший из этих отрезков равен \(a + x\). По условию, этот отрезок равен 36.
Значит:
\[a + x = 36\]Подставим выражение для \(x\):
\[a + \frac{b - a}{2} = 36\]Приведем к общему знаменателю:
\[\frac{2a + b - a}{2} = 36\] \[\frac{a + b}{2} = 36\]Обратите внимание, что выражение \(\frac{a + b}{2}\) — это полусумма оснований, которая является частью формулы площади трапеции.
Теперь мы можем подставить это значение и высоту \(h\) в формулу площади:
\[S = \left(\frac{a + b}{2}\right) \cdot h\] \[S = 36 \cdot 11\]Выполним умножение:
\[S = 396\]Ответ: Площадь трапеции равна 396.