Рыбохозяйственный университет
(ФГБОУ ВО «ДАЛЬРЫБВТУЗ»)
Кафедра «Высшая математика»
Контрольная работа для проверки знаний по разделу «Аналитическая геометрия на плоскости»
Вариант №15
Даны вершины треугольника ABC: \(A(4;3)\), \(B(-3;5)\), \(C(2;-4)\).
Требуется:
1. Найти длины всех его сторон.
Для нахождения длины отрезка между двумя точками \( (x_1, y_1) \) и \( (x_2, y_2) \) используем формулу:
\[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]Длина стороны AB:
\[ AB = \sqrt{(-3 - 4)^2 + (5 - 3)^2} = \sqrt{(-7)^2 + (2)^2} = \sqrt{49 + 4} = \sqrt{53} \]Длина стороны BC:
\[ BC = \sqrt{(2 - (-3))^2 + (-4 - 5)^2} = \sqrt{(2 + 3)^2 + (-9)^2} = \sqrt{5^2 + (-9)^2} = \sqrt{25 + 81} = \sqrt{106} \]Длина стороны AC:
\[ AC = \sqrt{(2 - 4)^2 + (-4 - 3)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-7)^2} = \sqrt{4 + 49} = \sqrt{53} \]Ответ: \(AB = \sqrt{53}\), \(BC = \sqrt{106}\), \(AC = \sqrt{53}\).
2. Составить уравнения всех его сторон.
Для составления уравнения прямой, проходящей через две точки \( (x_1, y_1) \) и \( (x_2, y_2) \), используем формулу:
\[ \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} \]Уравнение стороны AB (A(4;3), B(-3;5)):
\[ \frac{x - 4}{-3 - 4} = \frac{y - 3}{5 - 3} \] \[ \frac{x - 4}{-7} = \frac{y - 3}{2} \] \[ 2(x - 4) = -7(y - 3) \] \[ 2x - 8 = -7y + 21 \] \[ 2x + 7y - 29 = 0 \]Уравнение стороны BC (B(-3;5), C(2;-4)):
\[ \frac{x - (-3)}{2 - (-3)} = \frac{y - 5}{-4 - 5} \] \[ \frac{x + 3}{5} = \frac{y - 5}{-9} \] \[ -9(x + 3) = 5(y - 5) \] \[ -9x - 27 = 5y - 25 \] \[ -9x - 5y - 2 = 0 \] \[ 9x + 5y + 2 = 0 \]Уравнение стороны AC (A(4;3), C(2;-4)):
\[ \frac{x - 4}{2 - 4} = \frac{y - 3}{-4 - 3} \] \[ \frac{x - 4}{-2} = \frac{y - 3}{-7} \] \[ -7(x - 4) = -2(y - 3) \] \[ -7x + 28 = -2y + 6 \] \[ -7x + 2y + 22 = 0 \] \[ 7x - 2y - 22 = 0 \]Ответ:
AB: \(2x + 7y - 29 = 0\)
BC: \(9x + 5y + 2 = 0\)
AC: \(7x - 2y - 22 = 0\)
3. Составить уравнения медианы, высоты, найти тангенс внутреннего угла при вершине B.
Уравнение медианы AM:
Медиана AM соединяет вершину A с серединой стороны BC. Найдем координаты середины M стороны BC.
Координаты середины отрезка \( (x_1, y_1) \) и \( (x_2, y_2) \) находятся по формулам:
\[ x_M = \frac{x_1 + x_2}{2}, \quad y_M = \frac{y_1 + y_2}{2} \]Для BC (B(-3;5), C(2;-4)):
\[ x_M = \frac{-3 + 2}{2} = \frac{-1}{2} \] \[ y_M = \frac{5 + (-4)}{2} = \frac{1}{2} \]Итак, \(M(-\frac{1}{2}; \frac{1}{2})\).
Теперь составим уравнение прямой AM (A(4;3), \(M(-\frac{1}{2}; \frac{1}{2})\)):
\[ \frac{x - 4}{-\frac{1}{2} - 4} = \frac{y - 3}{\frac{1}{2} - 3} \] \[ \frac{x - 4}{-\frac{9}{2}} = \frac{y - 3}{-\frac{5}{2}} \] \[ \frac{x - 4}{9} = \frac{y - 3}{5} \] \[ 5(x - 4) = 9(y - 3) \] \[ 5x - 20 = 9y - 27 \] \[ 5x - 9y + 7 = 0 \]Уравнение высоты BH:
Высота BH перпендикулярна стороне AC. Уравнение стороны AC: \(7x - 2y - 22 = 0\). Угловой коэффициент прямой AC: \(k_{AC} = -\frac{A}{B} = -\frac{7}{-2} = \frac{7}{2}\).
Угловой коэффициент высоты BH: \(k_{BH} = -\frac{1}{k_{AC}} = -\frac{1}{\frac{7}{2}} = -\frac{2}{7}\).
Уравнение прямой, проходящей через точку \( (x_0, y_0) \) с угловым коэффициентом \( k \):
\[ y - y_0 = k(x - x_0) \]Для BH (B(-3;5), \(k_{BH} = -\frac{2}{7}\)):
\[ y - 5 = -\frac{2}{7}(x - (-3)) \] \[ y - 5 = -\frac{2}{7}(x + 3) \] \[ 7(y - 5) = -2(x + 3) \] \[ 7y - 35 = -2x - 6 \] \[ 2x + 7y - 29 = 0 \]Тангенс внутреннего угла при вершине B:
Угол при вершине B образован сторонами BA и BC. Найдем угловые коэффициенты этих сторон.
Уравнение AB: \(2x + 7y - 29 = 0\). Угловой коэффициент \(k_{AB} = -\frac{2}{7}\).
Уравнение BC: \(9x + 5y + 2 = 0\). Угловой коэффициент \(k_{BC} = -\frac{9}{5}\).
Тангенс угла \( \phi \) между двумя прямыми с угловыми коэффициентами \( k_1 \) и \( k_2 \) находится по формуле:
\[ \tan \phi = \left| \frac{k_2 - k_1}{1 + k_1 k_2} \right| \]Пусть \(k_1 = k_{BC} = -\frac{9}{5}\) и \(k_2 = k_{AB} = -\frac{2}{7}\).
\[ \tan B = \left| \frac{-\frac{2}{7} - (-\frac{9}{5})}{1 + (-\frac{9}{5})(-\frac{2}{7})} \right| = \left| \frac{-\frac{2}{7} + \frac{9}{5}}{1 + \frac{18}{35}} \right| \] \[ \tan B = \left| \frac{\frac{-10 + 63}{35}}{\frac{35 + 18}{35}} \right| = \left| \frac{\frac{53}{35}}{\frac{53}{35}} \right| = 1 \]Ответ:
Уравнение медианы AM: \(5x - 9y + 7 = 0\)
Уравнение высоты BH: \(2x + 7y - 29 = 0\)
Тангенс угла при вершине B: \( \tan B = 1 \)
4. Написать уравнение прямой (AM), где точка M делит сторону BC в соотношении \( \frac{BM}{MC} = \frac{2}{3} \).
Точка M делит отрезок BC в отношении \( \lambda = \frac{BM}{MC} = \frac{2}{3} \). Координаты точки M \( (x_M, y_M) \) находятся по формулам:
\[ x_M = \frac{x_B + \lambda x_C}{1 + \lambda}, \quad y_M = \frac{y_B + \lambda y_C}{1 + \lambda} \]Для B(-3;5), C(2;-4) и \( \lambda = \frac{2}{3} \):
\[ x_M = \frac{-3 + \frac{2}{3} \cdot 2}{1 + \frac{2}{3}} = \frac{-3 + \frac{4}{3}}{\frac{5}{3}} = \frac{\frac{-9 + 4}{3}}{\frac{5}{3}} = \frac{-5}{5} = -1 \] \[ y_M = \frac{5 + \frac{2}{3} \cdot (-4)}{1 + \frac{2}{3}} = \frac{5 - \frac{8}{3}}{\frac{5}{3}} = \frac{\frac{15 - 8}{3}}{\frac{5}{3}} = \frac{7}{5} \]Итак, \(M(-1; \frac{7}{5})\).
Теперь составим уравнение прямой AM (A(4;3), \(M(-1; \frac{7}{5})\)):
\[ \frac{x - 4}{-1 - 4} = \frac{y - 3}{\frac{7}{5} - 3} \] \[ \frac{x - 4}{-5} = \frac{y - 3}{\frac{7 - 15}{5}} \] \[ \frac{x - 4}{-5} = \frac{y - 3}{-\frac{8}{5}} \] \[ \frac{x - 4}{5} = \frac{y - 3}{\frac{8}{5}} \] \[ \frac{8}{5}(x - 4) = 5(y - 3) \] \[ 8(x - 4) = 25(y - 3) \] \[ 8x - 32 = 25y - 75 \] \[ 8x - 25y + 43 = 0 \]Ответ: Уравнение прямой AM: \(8x - 25y + 43 = 0\).
5. Установить, какую линию определяет данное уравнение, привести его к каноническому виду, изобразить ее и указать основные характеристики.
Уравнение: \(3x^2 - 6y^2 - 18x + 36y - 39 = 0\)
Сгруппируем члены с \(x\) и \(y\):
\[ (3x^2 - 18x) - (6y^2 - 36y) - 39 = 0 \]Вынесем коэффициенты при \(x^2\) и \(y^2\):
\[ 3(x^2 - 6x) - 6(y^2 - 6y) - 39 = 0 \]Дополним до полных квадратов:
Для \(x^2 - 6x\): \( (x - 3)^2 - 9 \)
Для \(y^2 - 6y\): \( (y - 3)^2 - 9 \)
Подставим обратно в уравнение:
\[ 3((x - 3)^2 - 9) - 6((y - 3)^2 - 9) - 39 = 0 \] \[ 3(x - 3)^2 - 27 - 6(y - 3)^2 + 54 - 39 = 0 \] \[ 3(x - 3)^2 - 6(y - 3)^2 + 27 - 39 = 0 \] \[ 3(x - 3)^2 - 6(y - 3)^2 - 12 = 0 \] \[ 3(x - 3)^2 - 6(y - 3)^2 = 12 \]Разделим все на 12:
\[ \frac{3(x - 3)^2}{12} - \frac{6(y - 3)^2}{12} = 1 \] \[ \frac{(x - 3)^2}{4} - \frac{(y - 3)^2}{2} = 1 \]Это уравнение гиперболы.
Основные характеристики:
Канонический вид гиперболы: \( \frac{(x - x_0)^2}{a^2} - \frac{(y - y_0)^2}{b^2} = 1 \)
Центр гиперболы: \( (x_0, y_0) = (3, 3) \)
Действительная полуось: \( a^2 = 4 \Rightarrow a = 2 \)
Мнимая полуось: \( b^2 = 2 \Rightarrow b = \sqrt{2} \)
Эксцентриситет: \( c^2 = a^2 + b^2 = 4 + 2 = 6 \Rightarrow c = \sqrt{6} \)
\[ e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{6}}{2} \]Вершины: \( (x_0 \pm a, y_0) \)
\( (3 \pm 2, 3) \)
\( V_1 = (3 - 2, 3) = (1, 3) \)
\( V_2 = (3 + 2, 3) = (5, 3) \)
Фокусы: \( (x_0 \pm c, y_0) \)
\( (3 \pm \sqrt{6}, 3) \)
\( F_1 = (3 - \sqrt{6}, 3) \)
\( F_2 = (3 + \sqrt{6}, 3) \)
Асимптоты: \( y - y_0 = \pm \frac{b}{a}(x - x_0) \)
\[ y - 3 = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}(x - 3) \] \[ y - 3 = \frac{\sqrt{2}}{2}(x - 3) \quad \text{и} \quad y - 3 = -\frac{\sqrt{2}}{2}(x - 3) \]Директрисы: \( x = x_0 \pm \frac{a}{e} = x_0 \pm \frac{a^2}{c} \)
\[ x = 3 \pm \frac{4}{\sqrt{6}} = 3 \pm \frac{4\sqrt{6}}{6} = 3 \pm \frac{2\