Решение задач по теории вероятностей для школьников

Вот решение задач, оформленное так, чтобы было удобно переписать в тетрадь школьнику:

Задача 1: Вероятность (в десятичных дробях) того, что при бросании игрального кубика выпадет число не больше трех, равна...

Решение 1:

При бросании игрального кубика возможно 6 равновероятных исходов: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Общее число исходов \(N = 6\).

Событие "выпадет число не больше трех" означает, что выпадет число 1, 2 или 3.

• Благоприятные исходы: 1, 2, 3.
• Число благоприятных исходов \(M = 3\).

Вероятность события \(P\) вычисляется как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

\[ P = \frac{M}{N} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \]

В десятичных дробях это будет:

\[ P = 0,5 \]

Ответ 1:

0,5

---

Задача 2: Из колоды карт в 52 листа наудачу извлекают карту. Затем из оставшейся колоды вытаскивают карту красной масти. Тогда вероятность, что первой была вытащена карта красной масти...

Решение 2:

В колоде из 52 карт 26 карт красной масти (червы и бубны) и 26 карт черной масти (пики и трефы).

Пусть событие \(A\) - первая вытащенная карта была красной масти.

Пусть событие \(B\) - вторая вытащенная карта была красной масти.

Нам нужно найти вероятность того, что первой была вытащена карта красной масти, при условии, что вторая вытащенная карта была красной масти. Это условная вероятность \(P(A|B)\).

Однако формулировка "Тогда вероятность, что первой была вытащена карта красной масти..." без явного условия на вторую карту, но после описания двух действий, обычно подразумевает, что нужно найти вероятность того, что первая карта была красной масти, и вторая карта была красной масти. Или же, если вопрос именно о первой карте, то это просто вероятность вытащить красную карту первой.

Давайте рассмотрим оба возможных толкования вопроса, так как формулировка может быть неоднозначной.

Толкование 1: Найти вероятность того, что первая вытащенная карта была красной масти (без учета второй карты, но после того, как вторая карта была вытащена и оказалась красной). Это задача на условную вероятность \(P(A|B)\).

Для этого нам нужна формула Байеса: \(P(A|B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)}\).

• \(P(A)\) - вероятность, что первая карта красная. \(P(A) = \frac{26}{52} = \frac{1}{2}\).
• \(P(B|A)\) - вероятность, что вторая карта красная, при условии, что первая была красной. Если первая карта была красной, то осталось 51 карта, из которых 25 красных. \(P(B|A) = \frac{25}{51}\).
• \(P(B)\) - вероятность, что вторая карта красная (без учета первой). Это можно найти как сумму вероятностей: \(P(B) = P(B|A)P(A) + P(B|\text{не }A)P(\text{не }A)\).
  • \(P(\text{не }A)\) - вероятность, что первая карта не красная (черная). \(P(\text{не }A) = \frac{26}{52} = \frac{1}{2}\).
  • \(P(B|\text{не }A)\) - вероятность, что вторая карта красная, при условии, что первая была черной. Если первая карта была черной, то осталось 51 карта, из которых 26 красных. \(P(B|\text{не }A) = \frac{26}{51}\).
  \[ P(B) = \frac{25}{51} \cdot \frac{1}{2} + \frac{26}{51} \cdot \frac{1}{2} = \frac{25+26}{102} = \frac{51}{102} = \frac{1}{2} \]
• Теперь подставим в формулу Байеса: \[ P(A|B) = \frac{\frac{25}{51} \cdot \frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} = \frac{25}{51} \]

Толкование 2: Найти вероятность того, что первая вытащенная карта была красной масти, и вторая вытащенная карта была красной масти. Это вероятность произведения событий \(P(A \cap B)\).

\[ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A) \] \[ P(A \cap B) = \frac{26}{52} \cdot \frac{25}{51} = \frac{1}{2} \cdot \frac{25}{51} = \frac{25}{102} \]

Толкование 3: Найти вероятность того, что первая вытащенная карта была красной масти, независимо от второй. Это просто \(P(A)\).

\[ P(A) = \frac{26}{52} = \frac{1}{2} \]

Среди предложенных вариантов ответов есть \(\frac{1}{2}\), \(\frac{25}{51}\), \(\frac{26}{51}\), \(1\).

Вариант \(\frac{25}{51}\) соответствует условной вероятности \(P(A|B)\) (вероятность, что первая была красной, если вторая оказалась красной).

Вариант \(\frac{1}{2}\) соответствует вероятности, что первая карта была красной, независимо от второй.

Фраза "Тогда вероятность, что первой была вытащена карта красной масти..." после описания двух действий, где вторая карта *вытаскивается* красной масти, очень сильно намекает на условную вероятность. Если бы вопрос был "Какова вероятность, что первая карта будет красной?", то ответ был бы \(\frac{1}{2}\). Но здесь есть "Затем из оставшейся колоды вытаскивают карту красной масти. Тогда вероятность, что первой была вытащена карта красной масти...". Это означает, что мы уже знаем, что вторая карта красная, и спрашиваем о первой.

Поэтому наиболее логичным ответом является \(\frac{25}{51}\).

Ответ 2:

Выбираем вариант \(\frac{25}{51}\).