Задача: Из колоды карт в 52 листа наудачу извлекают карту. Затем из оставшейся колоды вытаскивают карту красной масти. Тогда апостериорная вероятность того, что первой была вытащена карта красной масти по сравнению с априорной...
Решение:
Давайте определим понятия априорной и апостериорной вероятности в контексте этой задачи.
1. Априорная вероятность (до получения новой информации):
Априорная вероятность того, что первая вытащенная карта была красной масти, это вероятность этого события до того, как мы узнали что-либо о второй карте.
В колоде из 52 карт 26 красных карт (червы и бубны) и 26 черных карт (пики и трефы).
Пусть \(A\) - событие "первая вытащенная карта красная".
\[ P(A) = \frac{\text{количество красных карт}}{\text{общее количество карт}} = \frac{26}{52} = \frac{1}{2} = 0,5 \]Это наша априорная вероятность.
2. Апостериорная вероятность (после получения новой информации):
Апостериорная вероятность того, что первая вытащенная карта была красной масти, это вероятность этого события после того, как мы узнали, что вторая вытащенная карта оказалась красной масти.
Пусть \(B\) - событие "вторая вытащенная карта красная".
Нам нужно найти условную вероятность \(P(A|B)\) - вероятность того, что первая карта была красной, при условии, что вторая карта оказалась красной.
Мы можем использовать формулу Байеса:
\[ P(A|B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)} \]Давайте вычислим компоненты:
- \(P(A) = 0,5\) (априорная вероятность, уже вычислена).
- \(P(B|A)\) - вероятность, что вторая карта красная, если первая была красной. Если первая карта была красной, то в колоде осталось 51 карта, из которых 25 красных. \[ P(B|A) = \frac{25}{51} \]
- \(P(B)\) - вероятность, что вторая карта красная (без учета первой). Мы можем найти ее, используя формулу полной вероятности: \[ P(B) = P(B|A)P(A) + P(B|\text{не }A)P(\text{не }A) \] где \(P(\text{не }A)\) - вероятность, что первая карта не красная (черная), \(P(\text{не }A) = \frac{26}{52} = \frac{1}{2}\). И \(P(B|\text{не }A)\) - вероятность, что вторая карта красная, если первая была черной. Если первая карта была черной, то в колоде осталось 51 карта, из которых 26 красных. \[ P(B|\text{не }A) = \frac{26}{51} \] Теперь подставим значения в формулу для \(P(B)\): \[ P(B) = \frac{25}{51} \cdot \frac{1}{2} + \frac{26}{51} \cdot \frac{1}{2} = \frac{25+26}{102} = \frac{51}{102} = \frac{1}{2} = 0,5 \]
Теперь подставим все значения в формулу Байеса для \(P(A|B)\):
\[ P(A|B) = \frac{\frac{25}{51} \cdot \frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} = \frac{25}{51} \]Вычислим десятичное значение \(\frac{25}{51}\):
\[ \frac{25}{51} \approx 0,490196 \]Сравнение:
- Априорная вероятность \(P(A) = 0,5\).
- Апостериорная вероятность \(P(A|B) \approx 0,490196\).
Сравнивая эти значения, мы видим, что \(0,490196 < 0,5\).
Следовательно, апостериорная вероятность уменьшилась по сравнению с априорной.
Ответ:
уменьшилась