Решение контрольной работы по аналитической геометрии. Вариант 15

Вот решение задач из контрольной работы. Контрольная работа по разделу «Аналитическая геометрия на плоскости» Вариант №15 Даны вершины треугольника ABC: \(A(-8, 2)\), \(B(-1, 5)\), \(C(2, -4)\). Требуется: 1. Найти длины всех его сторон. Длина отрезка между точками \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\) вычисляется по формуле: \[d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\] Длина стороны AB: \[AB = \sqrt{(-1 - (-8))^2 + (5 - 2)^2} = \sqrt{(7)^2 + (3)^2} = \sqrt{49 + 9} = \sqrt{58}\] Длина стороны BC: \[BC = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (-4 - 5)^2} = \sqrt{(3)^2 + (-9)^2} = \sqrt{9 + 81} = \sqrt{90} = 3\sqrt{10}\] Длина стороны AC: \[AC = \sqrt{(2 - (-8))^2 + (-4 - 2)^2} = \sqrt{(10)^2 + (-6)^2} = \sqrt{100 + 36} = \sqrt{136} = 2\sqrt{34}\] Ответ: \(AB = \sqrt{58}\), \(BC = 3\sqrt{10}\), \(AC = 2\sqrt{34}\). 2. Составить уравнения всех его сторон. Уравнение прямой, проходящей через две точки \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\), имеет вид: \[\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}\] Уравнение стороны AB: \(A(-8, 2)\), \(B(-1, 5)\) \[\frac{x - (-8)}{-1 - (-8)} = \frac{y - 2}{5 - 2}\] \[\frac{x + 8}{7} = \frac{y - 2}{3}\] \[3(x + 8) = 7(y - 2)\] \[3x + 24 = 7y - 14\] \[3x - 7y + 38 = 0\] Уравнение стороны BC: \(B(-1, 5)\), \(C(2, -4)\) \[\frac{x - (-1)}{2 - (-1)} = \frac{y - 5}{-4 - 5}\] \[\frac{x + 1}{3} = \frac{y - 5}{-9}\] \[-9(x + 1) = 3(y - 5)\] \[-9x - 9 = 3y - 15\] \[-9x - 3y + 6 = 0\] Разделим на -3: \[3x + y - 2 = 0\] Уравнение стороны AC: \(A(-8, 2)\), \(C(2, -4)\) \[\frac{x - (-8)}{2 - (-8)} = \frac{y - 2}{-4 - 2}\] \[\frac{x + 8}{10} = \frac{y - 2}{-6}\] \[-6(x + 8) = 10(y - 2)\] \[-6x - 48 = 10y - 20\] \[-6x - 10y - 28 = 0\] Разделим на -2: \[3x + 5y + 14 = 0\] Ответ: Сторона AB: \(3x - 7y + 38 = 0\) Сторона BC: \(3x + y - 2 = 0\) Сторона AC: \(3x + 5y + 14 = 0\) 3. Составить уравнения медианы, высоты, найти тангенс внутреннего угла при вершине B. Медиана BM: Медиана BM соединяет вершину B с серединой стороны AC. Найдем координаты середины M стороны AC: \(A(-8, 2)\), \(C(2, -4)\). \[M_x = \frac{-8 + 2}{2} = \frac{-6}{2} = -3\] \[M_y = \frac{2 + (-4)}{2} = \frac{-2}{2} = -1\] Точка M имеет координаты \((-3, -1)\). Теперь составим уравнение прямой, проходящей через B \((-1, 5)\) и M \((-3, -1)\). \[\frac{x - (-1)}{-3 - (-1)} = \frac{y - 5}{-1 - 5}\] \[\frac{x + 1}{-2} = \frac{y - 5}{-6}\] \[-6(x + 1) = -2(y - 5)\] \[-6x - 6 = -2y + 10\] \[-6x + 2y - 16 = 0\] Разделим на -2: \[3x - y + 8 = 0\] Высота BH: Высота BH перпендикулярна стороне AC. Уравнение стороны AC: \(3x + 5y + 14 = 0\). Угловой коэффициент прямой AC: \(k_{AC} = -\frac{3}{5}\). Угловой коэффициент высоты BH: \(k_{BH} = -\frac{1}{k_{AC}} = -\frac{1}{-\frac{3}{5}} = \frac{5}{3}\). Уравнение прямой, проходящей через точку \((x_0, y_0)\) с угловым коэффициентом \(k\): \(y - y_0 = k(x - x_0)\). Высота BH проходит через B \((-1, 5)\) и имеет угловой коэффициент \(k_{BH} = \frac{5}{3}\). \[y - 5 = \frac{5}{3}(x - (-1))\] \[y - 5 = \frac{5}{3}(x + 1)\] \[3(y - 5) = 5(x + 1)\] \[3y - 15 = 5x + 5\] \[5x - 3y + 20 = 0\] Тангенс внутреннего угла при вершине B: Угол B образован сторонами BA и BC. Найдем угловые коэффициенты прямых BA и BC. Для BA (или AB): \(A(-8, 2)\), \(B(-1, 5)\). \[k_{BA} = \frac{5 - 2}{-1 - (-8)} = \frac{3}{7}\] Для BC: \(B(-1, 5)\), \(C(2, -4)\). \[k_{BC} = \frac{-4 - 5}{2 - (-1)} = \frac{-9}{3} = -3\] Тангенс угла между двумя прямыми с угловыми коэффициентами \(k_1\) и \(k_2\) вычисляется по формуле: \[\tan \alpha = \left| \frac{k_2 - k_1}{1 + k_1 k_2} \right|\] Пусть \(k_1 = k_{BA} = \frac{3}{7}\) и \(k_2 = k_{BC} = -3\). \[\tan B = \left| \frac{-3 - \frac{3}{7}}{1 + \frac{3}{7} \cdot (-3)} \right| = \left| \frac{-\frac{21}{7} - \frac{3}{7}}{1 - \frac{9}{7}} \right| = \left| \frac{-\frac{24}{7}}{\frac{7}{7} - \frac{9}{7}} \right| = \left| \frac{-\frac{24}{7}}{-\frac{2}{7}} \right| = \left| \frac{24}{2} \right| = 12\] Ответ: Уравнение медианы BM: \(3x - y + 8 = 0\) Уравнение высоты BH: \(5x - 3y + 20 = 0\) Тангенс угла при вершине B: \(\tan B = 12\) 4. Написать уравнение прямой (AM), где точка M делит сторону BC в соотношении \(\frac{BM}{MC} = \frac{2}{3}\). Точка M делит отрезок BC в отношении \(\lambda = \frac{BM}{MC} = \frac{2}{3}\). Координаты точки M \((x_M, y_M)\) вычисляются по формулам: \[x_M = \frac{x_B + \lambda x_C}{1 + \lambda}\] \[y_M = \frac{y_B + \lambda y_C}{1 + \lambda}\] Где \(B(-1, 5)\) и \(C(2, -4)\). \[x_M = \frac{-1 + \frac{2}{3} \cdot 2}{1 + \frac{2}{3}} = \frac{-1 + \frac{4}{3}}{\frac{5}{3}} = \frac{\frac{-3 + 4}{3}}{\frac{5}{3}} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{5}{3}} = \frac{1}{5}\] \[y_M = \frac{5 + \frac{2}{3} \cdot (-4)}{1 + \frac{2}{3}} = \frac{5 - \frac{8}{3}}{\frac{5}{3}} = \frac{\frac{15 - 8}{3}}{\frac{5}{3}} = \frac{\frac{7}{3}}{\frac{5}{3}} = \frac{7}{5}\] Точка M имеет координаты \(\left(\frac{1}{5}, \frac{7}{5}\right)\). Теперь составим уравнение прямой AM, проходящей через \(A(-8, 2)\) и \(M\left(\frac{1}{5}, \frac{7}{5}\right)\). \[\frac{x - (-8)}{\frac{1}{5} - (-8)} = \frac{y - 2}{\frac{7}{5} - 2}\] \[\frac{x + 8}{\frac{1}{5} + \frac{40}{5}} = \frac{y - 2}{\frac{7}{5} - \frac{10}{5}}\] \[\frac{x + 8}{\frac{41}{5}} = \frac{y - 2}{-\frac{3}{5}}\] \[-\frac{3}{5}(x + 8) = \frac{41}{5}(y - 2)\] Умножим обе части на 5: \[-3(x + 8) = 41(y - 2)\] \[-3x - 24 = 41y - 82\] \[-3x - 41y + 58 = 0\] Умножим на -1 для удобства: \[3x + 41y - 58 = 0\] Ответ: Уравнение прямой AM: \(3x + 41y - 58 = 0\) 5. Установить, какую линию определяет данное уравнение, привести его к каноническому виду, изобразить ее и указать основные характеристики. Уравнение: \(3x^2 - 6y^2 - 18x + 36y - 39 = 0\) Сгруппируем члены с \(x\) и \(y\): \[(3x^2 - 18x) - (6y^2 - 36y) - 39 = 0\] Вынесем коэффициенты при квадратах: \[3(x^2 - 6x) - 6(y^2 - 6y) - 39 = 0\] Дополним до полных квадратов: Для \(x^2 - 6x\): \((x - 3)^2 - 9\) Для \(y^2 - 6y\): \((y - 3)^2 - 9\) Подставим в уравнение: \[3((x - 3)^2 - 9) - 6((y - 3)^2 - 9) - 39 = 0\] \[3(x - 3)^2 - 27 - 6(y - 3)^2 + 54 - 39 = 0\] \[3(x - 3)^2 - 6(y - 3)^2 + 27 - 39 = 0\] \[3(x - 3)^2 - 6(y - 3)^2 - 12 = 0\] Перенесем константу в правую часть: \[3(x - 3)^2 - 6(y - 3)^2 = 12\] Разделим все на 12, чтобы получить 1 в правой части: \[\frac{3(x - 3)^2}{12} - \frac{6(y - 3)^2}{12} = \frac{12}{12}\] \[\frac{(x - 3)^2}{4} - \frac{(y - 3)^2}{2} = 1\] Это уравнение гиперболы. Канонический вид: \[\frac{(x - x_0)^2}{a^2} - \frac{(y - y_0)^2}{b^2} = 1\] Основные характеристики: Центр гиперболы: \((x_0, y_0) = (3, 3)\). Действительная полуось: \(a^2 = 4 \Rightarrow a = 2\). Мнимая полуось: \(b^2 = 2 \Rightarrow b = \sqrt{2}\). Фокусное расстояние \(c\): \(c^2 = a^2 + b^2 = 4 + 2 = 6 \Rightarrow c = \sqrt{6}\). Координаты фокусов: \(F_1(x_0 - c, y_0) = (3 - \sqrt{6}, 3)\) и \(F_2(x_0 + c, y_0) = (3 + \sqrt{6}, 3)\). Координаты вершин: \(V_1(x_0 - a, y_0) = (3 - 2, 3) = (1, 3)\) и \(V_2(x_0 + a, y_0) = (3 + 2, 3) = (5, 3)\). Асимптоты: \(y - y_0 = \pm \frac{b}{a}(x - x_0)\) \[y - 3 = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}(x - 3)\] Эксцентриситет: \(e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{6}}{2}\). Уравнения директрис: \(x = x_0 \pm \frac{a}{e} = 3 \pm \frac{2}{\frac{\sqrt{6}}{2}} = 3 \pm \frac{4}{\sqrt{6}} = 3 \pm \frac{4\sqrt{6}}{6} = 3 \pm \frac{2\sqrt{6}}{3}\). Изображение: (Здесь должно быть изображение гиперболы. Поскольку я текстовый помощник, я не могу нарисовать график. Но я могу описать, как его построить.) 1. Отметьте центр \((3, 3)\). 2. Отложите от центра по горизонтали \(a=2\) единицы в обе стороны, чтобы найти вершины \((1, 3)\) и \((5, 3)\). 3. Отложите от центра по вертикали \(b=\sqrt{2} \approx 1.41\) единицы в обе стороны. 4. Постройте прямоугольник с центром в \((3, 3)\) и сторонами \(2a\) и \(2b\). 5. Проведите диагонали этого прямоугольника – это будут асимптоты. 6. Нарисуйте ветви гиперболы, проходящие через вершины и приближающиеся к асимптотам. Ответ: Тип линии: Гипербола. Канонический вид: \[\frac{(x - 3)^2}{4} - \frac{(y - 3)^2}{2} = 1\] Основные характеристики: Центр: \((3, 3)\) Действительная полуось: \(a = 2\) Мнимая полуось: \(b = \sqrt{2}\) Фокусы: \(F_1(3 - \sqrt{6}, 3)\), \(F_2(3 + \sqrt{6},