Задача: Два равносильных шахматиста играют матч из 4 партий. Тогда вероятность одному из них выиграть ровно две партии равна...
Решение:
Поскольку шахматисты равносильны, вероятность выигрыша каждой партии для каждого из них равна 0,5 (или 1/2). Вероятность ничьей в данном контексте не рассматривается, предполагается, что каждая партия заканчивается победой одного из игроков.
Мы имеем 4 партии, и нам нужно найти вероятность того, что один из шахматистов выиграет ровно 2 партии. Это задача на биномиальное распределение.
Пусть \(n\) - общее количество партий, \(n = 4\).
Пусть \(k\) - количество партий, которые должен выиграть один из шахматистов, \(k = 2\).
Пусть \(p\) - вероятность выигрыша одной партии для этого шахматиста, \(p = 0,5\).
Пусть \(q\) - вероятность проигрыша одной партии для этого шахматиста (то есть выигрыша другого шахматиста), \(q = 1 - p = 1 - 0,5 = 0,5\).
Формула биномиального распределения выглядит так:
\[P(X=k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k}\]Где \(C(n, k)\) - это число сочетаний из \(n\) по \(k\), которое вычисляется по формуле:
\[C(n, k) = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}\]Подставим наши значения:
1. Вычислим число сочетаний \(C(4, 2)\):
\[C(4, 2) = \frac{4!}{2! \cdot (4-2)!} = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(2 \cdot 1) \cdot (2 \cdot 1)} = \frac{24}{4} = 6\]2. Теперь подставим все значения в формулу биномиального распределения:
\[P(X=2) = 6 \cdot (0,5)^2 \cdot (0,5)^{4-2}\] \[P(X=2) = 6 \cdot (0,5)^2 \cdot (0,5)^2\] \[P(X=2) = 6 \cdot 0,25 \cdot 0,25\] \[P(X=2) = 6 \cdot 0,0625\] \[P(X=2) = 0,375\]Переведем десятичную дробь в обыкновенную:
\[0,375 = \frac{375}{1000} = \frac{3 \cdot 125}{8 \cdot 125} = \frac{3}{8}\]Таким образом, вероятность того, что один из шахматистов выиграет ровно две партии, равна \(3/8\).
Ответ:
Вероятность одному из них выиграть ровно две партии равна \(3/8\).