Решение неравенства: (4-x)^4(x+3)(-x-1)^3(x-2)^2 / (-5-x)^4(16-4x)^2 <= 0

Задание: Найдите множество решений неравенства: \[ \frac{(4-x)^4(x+3)(-x-1)^3(x-2)^2}{(-5-x)^4(16-4x)^2} \le 0 \] Решение: 1. Упростим выражение, вынося знаки и коэффициенты за скобки, учитывая степени: - \( (4-x)^4 = (x-4)^4 \) (четная степень) - \( (-x-1)^3 = (-(x+1))^3 = -(x+1)^3 \) (нечетная степень) - \( (-5-x)^4 = (-(x+5))^4 = (x+5)^4 \) (четная степень) - \( (16-4x)^2 = (4(4-x))^2 = 16(4-x)^2 = 16(x-4)^2 \) Подставим в неравенство: \[ \frac{(x-4)^4(x+3) \cdot (-(x+1)^3) \cdot (x-2)^2}{(x+5)^4 \cdot 16(x-4)^2} \le 0 \] 2. Сократим дробь на \( (x-4)^2 \), учитывая область допустимых значений (ОДЗ): \( x \neq 4 \) и \( x \neq -5 \). \[ \frac{-(x-4)^2(x+3)(x+1)^3(x-2)^2}{16(x+5)^4} \le 0 \] 3. Умножим на -16 (знак неравенства меняется): \[ \frac{(x-4)^2(x+3)(x+1)^3(x-2)^2}{(x+5)^4} \ge 0 \] 4. Определим корни числителя и знаменателя и их кратность: - \( x = 4 \) (кратность 2 — знак не меняется) - \( x = -3 \) (кратность 1 — знак меняется) - \( x = -1 \) (кратность 3 — знак меняется) - \( x = 2 \) (кратность 2 — знак не меняется) - \( x = -5 \) (кратность 4 — знак не меняется, точка выколота) 5. Применим метод интервалов. Расставим знаки на числовой прямой для функции \( f(x) = \frac{(x-4)^2(x+3)(x+1)^3(x-2)^2}{(x+5)^4} \): - На интервале \( (4; +\infty) \): \( f(x) > 0 \) (+) - Точка \( x = 4 \): знак не меняется (+) - На интервале \( (2; 4) \): (+) - Точка \( x = 2 \): знак не меняется (+) - На интервале \( (-1; 2) \): (+) - Точка \( x = -1 \): знак меняется (-) - На интервале \( (-3; -1) \): (-) - Точка \( x = -3 \): знак меняется (+) - На интервале \( (-5; -3) \): (+) - Точка \( x = -5 \): знак не меняется (+) - На интервале \( (-\infty; -5) \): (+) Нам нужно \( f(x) \ge 0 \). Учитываем выколотые точки из знаменателя: \( x \neq -5 \) и \( x \neq 4 \). Точки из числителя \( x = -3, x = -1, x = 2 \) входят в решение, так как неравенство нестрогое. Однако, точка \( x = 4 \) выколота, так как она обнуляет знаменатель в исходном выражении (в скобке \( 16-4x \)). Объединяем интервалы, где стоит плюс: \( (-\infty; -5) \cup (-5; -3] \cup [-1; 2] \cup [2; 4) \cup (4; +\infty) \) Заметим, что точки \( -1, 2 \) и интервалы между ними образуют сплошной отрезок до выколотой точки 4. Ответ: \( x \in (-\infty; -5) \cup (-5; -3] \cup [-1; 4) \cup (4; +\infty) \)