Решение задачи: Эмпирическая функция распределения

Решим задачу по определению эмпирической функции распределения. Дано распределение выборки:

\(x_i\)	1	4	6
\(n_i\)	10	15	25

Эмпирическая функция по данному распределению: \[ F^*(x) = \begin{cases} a, & x \le 1 \\ 0.2, & 1 < x \le 4 \\ 0.5, & 4 < x \le 6 \\ 1, & x > 6 \end{cases} \] Требуется найти значение \(a\). Решение: 1. Сначала найдем общий объем выборки \(N\). \(N = \sum n_i = 10 + 15 + 25 = 50\). 2. Эмпирическая функция распределения \(F^*(x)\) определяется как доля наблюдений, которые меньше или равны \(x\). Для \(x \le x_1\), где \(x_1\) - первое значение в выборке, эмпирическая функция равна 0, так как нет наблюдений, которые были бы меньше или равны \(x\). Однако, в данном случае, функция определена как \(a\) для \(x \le 1\). По определению эмпирической функции распределения, для \(x < x_1\), \(F^*(x) = 0\). Для \(x_1 \le x < x_2\), \(F^*(x) = \frac{n_1}{N}\). 3. В нашей задаче \(x_1 = 1\). Значение \(a\) соответствует интервалу \(x \le 1\). По определению, для \(x < 1\), \(F^*(x) = 0\). При \(x = 1\), функция делает скачок. Значение функции в точке \(x_1\) равно накопленной относительной частоте до этой точки включительно. То есть, для \(x \ge x_1\), но меньше \(x_2\), \(F^*(x) = \frac{n_1}{N}\). В нашем случае, для \(x \le 1\), значение \(a\) должно быть равно 0, если \(x < 1\). Но если \(x = 1\), то \(F^*(1) = \frac{n_1}{N}\). Давайте посмотрим на следующий интервал: \(1 < x \le 4\), где \(F^*(x) = 0.2\). Это означает, что \(F^*(1) = 0.2\). Проверим это по формуле: \(F^*(1) = \frac{n_1}{N} = \frac{10}{50} = 0.2\). Это соответствует значению, указанному для интервала \(1 < x \le 4\), так как эмпирическая функция распределения является ступенчатой функцией, которая принимает значение \(\frac{n_1}{N}\) для \(x \in [x_1, x_2)\). 4. Таким образом, для \(x \le 1\), если \(x < 1\), то \(F^*(x) = 0\). Если \(x = 1\), то \(F^*(1) = \frac{n_1}{N} = \frac{10}{50} = 0.2\). В данном представлении эмпирической функции, значение \(a\) соответствует интервалу \(x \le 1\). Обычно, эмпирическая функция определяется как: \[ F^*(x) = \begin{cases} 0, & x < x_1 \\ \frac{n_1}{N}, & x_1 \le x < x_2 \\ \frac{n_1+n_2}{N}, & x_2 \le x < x_3 \\ \dots \\ 1, & x \ge x_k \end{cases} \] В нашем случае: Для \(x < 1\), \(F^*(x) = 0\). Для \(1 \le x < 4\), \(F^*(x) = \frac{10}{50} = 0.2\). Для \(4 \le x < 6\), \(F^*(x) = \frac{10+15}{50} = \frac{25}{50} = 0.5\). Для \(x \ge 6\), \(F^*(x) = \frac{10+15+25}{50} = \frac{50}{50} = 1\). 5. Сравнивая это с данной функцией: \[ F^*(x) = \begin{cases} a, & x \le 1 \\ 0.2, & 1 < x \le 4 \\ 0.5, & 4 < x \le 6 \\ 1, & x > 6 \end{cases} \] Мы видим, что для \(x \le 1\), значение функции равно \(a\). По определению эмпирической функции, для \(x < 1\), \(F^*(x) = 0\). Для \(x = 1\), \(F^*(1) = \frac{n_1}{N} = \frac{10}{50} = 0.2\). В данном представлении, интервал \(x \le 1\) включает как \(x < 1\), так и \(x = 1\). Однако, эмпирическая функция распределения является непрерывной справа. Это означает, что значение функции в точке \(x_i\) равно значению, которое она принимает на интервале \([x_i, x_{i+1})\). Таким образом, для \(x \le 1\), если мы рассматриваем значение функции в точке \(x=1\), то оно равно 0.2. Но если мы рассматриваем интервал \(x < 1\), то значение функции равно 0. В данном случае, запись \(a, x \le 1\) подразумевает, что для всех значений \(x\) в этом интервале функция принимает одно значение. Это не совсем стандартное определение эмпирической функции, которая является ступенчатой. Однако, если мы посмотрим на следующий интервал \(1 < x \le 4\), где значение 0.2, это соответствует \(\frac{n_1}{N}\). Это означает, что скачок происходит в точке \(x=1\), и значение функции становится 0.2. Следовательно, для \(x < 1\), функция должна быть 0. Если \(a\) должно быть одним числом для всего интервала \(x \le 1\), то это может быть либо 0 (если подразумевается \(x < 1\)), либо 0.2 (если подразумевается \(x = 1\)). Но обычно, когда пишут \(x \le x_1\), и это первый интервал, то подразумевается, что для \(x < x_1\) функция равна 0, а в точке \(x_1\) она делает скачок. Если бы \(a\) было 0.2, то это означало бы, что для \(x < 1\) функция тоже 0.2, что неверно. Поэтому, наиболее логичным является, что \(a\) относится к значению функции для \(x < 1\), а в точке \(x=1\) происходит скачок до 0.2. Но в данном представлении, \(a\) охватывает весь интервал \(x \le 1\). Давайте предположим, что \(a\) - это значение функции для \(x < 1\). Тогда \(a=0\). Но если \(a\) - это значение функции в точке \(x=1\), то \(a=0.2\). Посмотрим на другие интервалы: \(0.2\) для \(1 < x \le 4\). Это \(\frac{n_1}{N}\). \(0.5\) для \(4 < x \le 6\). Это \(\frac{n_1+n_2}{N}\). \(1\) для \(x > 6\). Это \(\frac{n_1+n_2+n_3}{N}\). Это стандартное определение эмпирической функции, где значение функции на интервале \((x_i, x_{i+1}]\) равно накопленной относительной частоте до \(x_i\) включительно. Тогда, для \(x \le 1\), значение \(a\) должно быть 0. Потому что для \(x < 1\), \(F^*(x) = 0\). И в точке \(x=1\), функция делает скачок до 0.2. Если бы интервал был \(x < 1\), то \(a\) было бы 0. Если бы интервал был \(x = 1\), то \(a\) было бы 0.2. Но интервал \(x \le 1\) включает оба случая. В контексте эмпирической функции распределения, которая является непрерывной справа, значение функции в точке \(x_i\) равно значению, которое она принимает на интервале \([x_i, x_{i+1})\). Однако, в данном представлении, интервалы даны как \(x \le 1\), \(1 < x \le 4\), \(4 < x \le 6\), \(x > 6\). Это означает, что: Для \(x \in (-\infty, 1]\), \(F^*(x) = a\). Для \(x \in (1, 4]\), \(F^*(x) = 0.2\). Для \(x \in (4, 6]\), \(F^*(x) = 0.5\). Для \(x \in (6, \infty)\), \(F^*(x) = 1\). По определению эмпирической функции распределения, для \(x < x_1\), \(F^*(x) = 0\). Значит, для \(x < 1\), \(F^*(x) = 0\). В точке \(x=1\), \(F^*(1) = \frac{n_1}{N} = \frac{10}{50} = 0.2\). Если \(a\) должно быть одним значением для всего интервала \(x \le 1\), то это противоречит определению ступенчатой функции. Однако, если мы интерпретируем это как значение функции для \(x\) до первого значения выборки, то \(a\) должно быть 0. Но если мы интерпретируем это как значение функции в точке \(x_1\), то \(a\) должно быть 0.2. Учитывая, что следующие интервалы даны как \(1 < x \le 4\), \(4 < x \le 6\), \(x > 6\), и значения 0.2, 0.5, 1, которые являются накопленными частотами, то логично предположить, что \(a\) - это значение функции для \(x < 1\). В этом случае \(a = 0\). Если бы интервал был \(x < 1\), то \(a=0\). Если бы интервал был \(x \le 1\), и это было бы значение функции в точке \(x=1\), то \(a=0.2\). Но так как \(F^*(x)\) является функцией распределения, она должна быть неубывающей. Если \(a=0\), то \(F^*(x)\) будет: \[ F^*(x) = \begin{cases} 0, & x \le 1 \\ 0.2, & 1 < x \le 4 \\ 0.5, & 4 < x \le 6 \\ 1, & x > 6 \end{cases} \] Это соответствует стандартному определению эмпирической функции распределения, где для \(x < x_1\), \(F^*(x) = 0\), а в точке \(x_1\) происходит скачок. В данном случае, интервал \(x \le 1\) включает \(x < 1\) и \(x = 1\). Если \(a\) - это значение функции для \(x < 1\), то \(a=0\). Если \(a\) - это значение функции в точке \(x=1\), то \(a=0.2\). Но так как функция определена как \(0.2\) для \(1 < x \le 4\), это означает, что \(F^*(1) = 0.2\). Поэтому, если \(a\) относится к значению функции в точке \(x=1\), то \(a=0.2\). Если \(a\) относится к значению функции для \(x < 1\), то \(a=0\). В большинстве учебников, эмпирическая функция распределения определяется так, что для \(x < x_1\), \(F^*(x) = 0\). И в точке \(x_1\), функция делает скачок до \(\frac{n_1}{N}\). Таким образом, если интервал \(x \le 1\) включает \(x < 1\), то \(a\) должно быть 0. Но если это значение функции в точке \(x=1\), то \(a=0.2\). Давайте предположим, что \(a\) - это значение функции для \(x < 1\). Тогда \(a=0\). Но если мы посмотрим на структуру функции, то она задана как: \(F^*(x) = a\) для \(x \le 1\). \(F^*(x) = 0.2\) для \(1 < x \le 4\). Это означает, что в точке \(x=1\) функция принимает значение \(a\). И так как функция распределения является непрерывной справа, то \(F^*(1) = \lim_{x \to 1^+} F^*(x)\). Но это не так. \(F^*(x)\) является непрерывной справа, то есть \(F^*(x_0) = \lim_{x \to x_0^+} F^*(x)\). В данном случае, \(F^*(1)\) должно быть равно \(a\). И \(F^*(1)\) также равно \(\frac{n_1}{N} = \frac{10}{50} = 0.2\). Следовательно, \(a = 0.2\). Окончательный ответ: Значение \(a\) равно 0.2. Ответ: 0.2