Решение задачи: Проверка гипотезы о нормальном распределении (χ²)

Для решения задачи по проверке гипотезы о нормальном распределении с помощью критерия согласия Пирсона (\(\chi^2\)), выполним следующие шаги. 1. Составим расчетную таблицу. Для интервального ряда найдем середины интервалов \(x_i\). Объем выборки: \(n = 1 + 24 + 16 + 18 + 24 + 11 + 6 = 100\). Интервалы: 1) 148-152, \(x_1 = 150\), \(n_1 = 1\) 2) 152-156, \(x_2 = 154\), \(n_2 = 24\) 3) 156-160, \(x_3 = 158\), \(n_3 = 16\) 4) 160-164, \(x_4 = 162\), \(n_4 = 18\) 5) 164-168, \(x_5 = 166\), \(n_5 = 24\) 6) 168-172, \(x_6 = 170\), \(n_6 = 11\) 7) 172-176, \(x_7 = 174\), \(n_7 = 6\) 2. Вычислим выборочное среднее \(\bar{x}_B\) и выборочное среднее квадратическое отклонение \(\sigma_B\): \[ \bar{x}_B = \frac{1}{n} \sum x_i n_i = \frac{150 \cdot 1 + 154 \cdot 24 + 158 \cdot 16 + 162 \cdot 18 + 166 \cdot 24 + 170 \cdot 11 + 174 \cdot 6}{100} \] \[ \bar{x}_B = \frac{150 + 3696 + 2528 + 2916 + 3984 + 1870 + 1044}{100} = \frac{16188}{100} = 161,88 \] Вычислим дисперсию \(D_B\): \[ D_B = \frac{\sum x_i^2 n_i}{n} - (\bar{x}_B)^2 \] \[ \sum x_i^2 n_i = 150^2 \cdot 1 + 154^2 \cdot 24 + 158^2 \cdot 16 + 162^2 \cdot 18 + 166^2 \cdot 24 + 170^2 \cdot 11 + 174^2 \cdot 6 = 2624544 \] \[ D_B = \frac{2624544}{100} - (161,88)^2 = 26245,44 - 26205,13 = 40,31 \] \[ \sigma_B = \sqrt{40,31} \approx 6,35 \] 3. Вычислим теоретические частоты \(n_i'\). Для этого используем формулу: \[ n_i' = \frac{n \cdot h}{\sigma_B} \cdot \varphi(u_i), \text{ где } u_i = \frac{x_i - \bar{x}_B}{\sigma_B}, \text{ шаг } h = 4 \] \[ \frac{n \cdot h}{\sigma_B} = \frac{100 \cdot 4}{6,35} \approx 62,99 \] Рассчитаем значения (округляя): - \(u_1 = \frac{150-161,88}{6,35} = -1,87 \Rightarrow \varphi(-1,87) = 0,0694 \Rightarrow n_1' = 62,99 \cdot 0,0694 \approx 4,37\) - \(u_2 = \frac{154-161,88}{6,35} = -1,24 \Rightarrow \varphi(-1,24) = 0,1847 \Rightarrow n_2' = 62,99 \cdot 0,1847 \approx 11,63\) - \(u_3 = \frac{158-161,88}{6,35} = -0,61 \Rightarrow \varphi(-0,61) = 0,3312 \Rightarrow n_3' = 62,99 \cdot 0,3312 \approx 20,86\) - \(u_4 = \frac{162-161,88}{6,35} = 0,02 \Rightarrow \varphi(0,02) = 0,3989 \Rightarrow n_4' = 62,99 \cdot 0,3989 \approx 25,13\) - \(u_5 = \frac{166-161,88}{6,35} = 0,65 \Rightarrow \varphi(0,65) = 0,3230 \Rightarrow n_5' = 62,99 \cdot 0,3230 \approx 20,35\) - \(u_6 = \frac{170-161,88}{6,35} = 1,28 \Rightarrow \varphi(1,28) = 0,1758 \Rightarrow n_6' = 62,99 \cdot 0,1758 \approx 11,07\) - \(u_7 = \frac{174-161,88}{6,35} = 1,91 \Rightarrow \varphi(1,91) = 0,0644 \Rightarrow n_7' = 62,99 \cdot 0,0644 \approx 4,06\) 4. Вычислим наблюдаемое значение критерия Пирсона \(\chi^2_{набл}\): \[ \chi^2_{набл} = \sum \frac{(n_i - n_i')^2}{n_i'} \] \[ \chi^2_{набл} = \frac{(1-4,37)^2}{4,37} + \frac{(24-11,63)^2}{11,63} + \frac{(16-20,86)^2}{20,86} + \frac{(18-25,13)^2}{25,13} + \frac{(24-20,35)^2}{20,35} + \frac{(11-11,07)^2}{11,07} + \frac{(6-4,06)^2}{4,06} \] \[ \chi^2_{набл} = 2,59 + 13,16 + 1,13 + 2,02 + 0,65 + 0,00 + 0,93 = 20,48 \] 5. Определим критическое значение \(\chi^2_{крит}\). Число степеней свободы \(k = m - 3\), где \(m = 7\) (количество интервалов). \(k = 7 - 3 = 4\). По таблице критических точек распределения \(\chi^2\) при \(\alpha = 0,05\) и \(k = 4\): \[ \chi^2_{крит}(0,05; 4) = 9,49 \] 6. Вывод: Так как \(\chi^2_{набл} > \chi^2_{крит}\) (\(20,48 > 9,49\)), гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности отвергается. Данные не согласуются с нормальным законом распределения. 7. Гистограмма относительных частот: Для построения в тетради начертите оси. По оси \(OX\) отложите интервалы роста. По оси \(OY\) отложите плотность относительной частоты \(W_i = \frac{n_i}{n \cdot h}\). Значения высот столбиков: 1) \(1/400 = 0,0025\) 2) \(24/400 = 0,06\) 3) \(16/400 = 0,04\) 4) \(18/400 = 0,045\) 5) \(24/400 = 0,06\) 6) \(11/400 = 0,0275\) 7) \(6/400 = 0,015\)