Решение неравенства: 4x(4x^4 - 5x^2 + 1) / ((-5-x)^4 (16-4x)^2) <= 0

Решить неравенство: \[ \frac{4x(4x^4 - 5x^2 + 1)}{(-5-x)^4 (16-4x)^2} \le 0 \] Решение: 1. Разложим числитель на множители. Рассмотрим биквадратное выражение \( 4x^4 - 5x^2 + 1 \). Пусть \( x^2 = t \), тогда имеем \( 4t^2 - 5t + 1 = 0 \). Корни этого уравнения: \( t_1 = 1 \), \( t_2 = \frac{1}{4} \). Следовательно, \( 4x^4 - 5x^2 + 1 = 4(x^2 - 1)(x^2 - \frac{1}{4}) = 4(x-1)(x+1)(x-\frac{1}{2})(x+\frac{1}{2}) \). Подставим это в числитель: \[ 4x \cdot 4(x-1)(x+1)(x-0,5)(x+0,5) = 16x(x-1)(x+1)(x-0,5)(x+0,5) \] 2. Упростим знаменатель. Выражение \( (-5-x)^4 \) равносильно \( (x+5)^4 \). Выражение \( (16-4x)^2 \) можно представить как \( (4(4-x))^2 = 16(4-x)^2 \), что равносильно \( 16(x-4)^2 \). 3. Перепишем исходное неравенство в виде: \[ \frac{16x(x-1)(x+1)(x-0,5)(x+0,5)}{16(x+5)^4 (x-4)^2} \le 0 \] Сократим на 16: \[ \frac{x(x-1)(x+1)(x-0,5)(x+0,5)}{(x+5)^4 (x-4)^2} \le 0 \] 4. Найдем критические точки: Нули числителя (закрашенные точки): \( x = 0 \); \( x = 1 \); \( x = -1 \); \( x = 0,5 \); \( x = -0,5 \). Нули знаменателя (выколотые точки): \( x = -5 \); \( x = 4 \). 5. Применим метод интервалов. Заметим, что множители в знаменателе стоят в четных степенях (\( 4 \) и \( 2 \)), значит, при переходе через точки \( x = -5 \) и \( x = 4 \) знак выражения меняться не будет. Расставим знаки на числовой прямой: - На промежутке \( (4; +\infty) \): знак \( + \) - Точка \( x = 4 \): знак не меняется, остается \( + \) - На промежутке \( (1; 4) \): знак \( + \) - На промежутке \( [0,5; 1] \): знак \( - \) - На промежутке \( [0; 0,5] \): знак \( + \) - На промежутке \( [-0,5; 0] \): знак \( - \) - На промежутке \( [-1; -0,5] \): знак \( + \) - На промежутке \( (-\infty; -1] \): знак \( - \) (включая точку \( -5 \), так как там знак не меняется) 6. Выбираем промежутки, где выражение \( \le 0 \). Также не забываем проверить выколотые точки. Точки \( x = -5 \) и \( x = 4 \) должны быть исключены. Объединяя интервалы, получаем: \[ x \in (-\infty; -5) \cup (-5; -1] \cup [-0,5; 0] \cup [0,5; 1] \] Ответ: \( (-\infty; -5) \cup (-5; -1] \cup [-0,5; 0] \cup [0,5; 1] \)