Решение уравнения (x+4)^4 - 6(x+4)^2 - 7 = 0

Решение уравнения: \[ (x + 4)^4 - 6(x + 4)^2 - 7 = 0 \] 1. Введем замену переменной. Пусть \( t = (x + 4)^2 \). Так как квадрат любого числа не может быть отрицательным, то \( t \ge 0 \). 2. Перепишем уравнение относительно \( t \): \[ t^2 - 6t - 7 = 0 \] 3. Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант или по теореме Виета: \[ D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64 \] \[ \sqrt{D} = 8 \] \[ t_1 = \frac{6 + 8}{2} = 7 \] \[ t_2 = \frac{6 - 8}{2} = -1 \] 4. Условию \( t \ge 0 \) удовлетворяет только \( t = 7 \). Значение \( t = -1 \) является посторонним корнем для исходного уравнения. 5. Вернемся к замене: \[ (x + 4)^2 = 7 \] \[ x + 4 = \sqrt{7} \quad \text{или} \quad x + 4 = -\sqrt{7} \] 6. Найдем корни уравнения: \[ x_1 = -4 + \sqrt{7} \] \[ x_2 = -4 - \sqrt{7} \] 7. Найдем сумму корней: \[ x_1 + x_2 = (-4 + \sqrt{7}) + (-4 - \sqrt{7}) = -8 \] 8. Найдем произведение корней (используя формулу разности квадратов): \[ x_1 \cdot x_2 = (-4 + \sqrt{7}) \cdot (-4 - \sqrt{7}) = (-4)^2 - (\sqrt{7})^2 = 16 - 7 = 9 \] Ответы для ввода: Сумма корней уравнения: -8 Произведение корней уравнения: 9