Решение задачи: Формула сложения вероятностей (Вариант 1)

Вот решения задач, оформленные так, чтобы их было удобно переписать в тетрадь школьнику. Проверочная работа по теме «Формула сложения вероятностей» Вариант 1 1. На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Вписанная окружность», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос по теме «Внешние углы», равна 0,35. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем. Решение: Пусть событие \(A\) – это вопрос по теме «Вписанная окружность». Тогда вероятность события \(A\) равна \(P(A) = 0,2\). Пусть событие \(B\) – это вопрос по теме «Внешние углы». Тогда вероятность события \(B\) равна \(P(B) = 0,35\). По условию задачи, вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Это означает, что события \(A\) и \(B\) несовместны. Для несовместных событий вероятность того, что произойдет хотя бы одно из них (то есть вопрос будет по одной из этих двух тем), находится по формуле сложения вероятностей: \(P(A \text{ или } B) = P(A) + P(B)\) Подставим известные значения: \(P(A \text{ или } B) = 0,2 + 0,35\) \(P(A \text{ или } B) = 0,55\) Ответ: 0,55 2. Вероятность того, что в случайный момент времени температура тела здорового человека окажется ниже 36,8°C, равна 0,89. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени у здорового человека температура тела окажется 36,8°C или выше. Решение: Пусть событие \(A\) – это температура тела здорового человека окажется ниже 36,8°C. Вероятность этого события равна \(P(A) = 0,89\). Событие, что температура тела окажется 36,8°C или выше, является противоположным событию \(A\). Обозначим его как \(\overline{A}\). Сумма вероятностей противоположных событий равна 1: \(P(A) + P(\overline{A}) = 1\) Чтобы найти вероятность события \(\overline{A}\), нужно вычесть вероятность события \(A\) из 1: \(P(\overline{A}) = 1 - P(A)\) Подставим известное значение: \(P(\overline{A}) = 1 - 0,89\) \(P(\overline{A}) = 0,11\) Ответ: 0,11 3. Вероятность того, что новый сканер прослужит больше года, равна 0,95. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,86. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года. Решение: Пусть событие \(A\) – сканер прослужит больше года. Вероятность этого события равна \(P(A) = 0,95\). Пусть событие \(B\) – сканер прослужит больше двух лет. Вероятность этого события равна \(P(B) = 0,86\). Нам нужно найти вероятность того, что сканер прослужит меньше двух лет, но больше года. Это означает, что сканер прослужит больше года, но не прослужит больше двух лет. Можно представить это как разность событий: сканер прослужит больше года, но при этом не прослужит больше двух лет. Событие «сканер прослужит больше двух лет» (событие \(B\)) является частью события «сканер прослужит больше года» (событие \(A\)). То есть, если сканер прослужил больше двух лет, то он автоматически прослужил и больше года. Мы ищем вероятность того, что сканер прослужит больше года, но не больше двух лет. Это можно записать как \(P(A \text{ и не } B)\). Поскольку \(B\) является подмножеством \(A\), то \(P(A \text{ и не } B) = P(A) - P(B)\). Подставим известные значения: \(P(A \text{ и не } B) = 0,95 - 0,86\) \(P(A \text{ и не } B) = 0,09\) Ответ: 0,09 4. При выпечке хлеба производится контрольное взвешивание свежей буханки. Известно, что вероятность того, что масса окажется меньше 810 г, равна 0,96. Вероятность того, что масса окажется больше 790 г, равна 0,82. Найдите вероятность того, что масса буханки больше 790 г, но меньше 810 г. Решение: Пусть событие \(A\) – масса буханки меньше 810 г. Вероятность этого события равна \(P(A) = 0,96\). Пусть событие \(B\) – масса буханки больше 790 г. Вероятность этого события равна \(P(B) = 0,82\). Нам нужно найти вероятность того, что масса буханки больше 790 г, но меньше 810 г. Это означает, что произошли оба события: масса меньше 810 г И масса больше 790 г. То есть, нам нужно найти вероятность пересечения событий \(A\) и \(B\), то есть \(P(A \text{ и } B)\). Для решения этой задачи удобно использовать формулу для вероятности объединения двух событий: \(P(A \text{ или } B) = P(A) + P(B) - P(A \text{ и } B)\) Однако, мы не знаем \(P(A \text{ или } B)\). Давайте рассмотрим противоположные события. Событие \(\overline{A}\) – масса буханки 810 г или больше. \(P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0,96 = 0,04\). Событие \(\overline{B}\) – масса буханки 790 г или меньше. \(P(\overline{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0,82 = 0,18\). Событие «масса буханки больше 790 г, но меньше 810 г» означает, что масса не меньше 810 г (то есть не \(\overline{A}\)) и не больше 790 г (то есть не \(\overline{B}\)). Это можно представить как: не (масса \(\le\) 790 г или масса \(\ge\) 810 г). То есть, это противоположное событие к объединению \(\overline{A}\) и \(\overline{B}\). \(P(A \text{ и } B) = 1 - P(\overline{A} \text{ или } \overline{B})\). События \(\overline{A}\) (масса \(\ge\) 810 г) и \(\overline{B}\) (масса \(\le\) 790 г) являются несовместными, так как масса не может быть одновременно \(\ge\) 810 г и \(\le\) 790 г. Поэтому для несовместных событий: \(P(\overline{A} \text{ или } \overline{B}) = P(\overline{A}) + P(\overline{B})\) \(P(\overline{A} \text{ или } \overline{B}) = 0,04 + 0,18 = 0,22\) Теперь найдем искомую вероятность: \(P(A \text{ и } B) = 1 - P(\overline{A} \text{ или } \overline{B})\) \(P(A \text{ и } B) = 1 - 0,22\) \(P(A \text{ и } B) = 0,78\) Ответ: 0,78