Решение неравенства: Задание №4

Задание № 4. Решите неравенство: \[ \frac{4x(4x^4 - 5x^2 + 1)}{x^2 - 4x + 4} \le 0 \] Решение: 1. Разложим числитель на множители. Рассмотрим биквадратное выражение \( 4x^4 - 5x^2 + 1 \). Пусть \( x^2 = t \), тогда имеем \( 4t^2 - 5t + 1 = 0 \). Корни этого уравнения: \( t_1 = 1 \), \( t_2 = \frac{1}{4} \). Следовательно, \( 4x^4 - 5x^2 + 1 = 4(x^2 - 1)(x^2 - \frac{1}{4}) = (x-1)(x+1)(2x-1)(2x+1) \). 2. Знаменатель представляет собой полный квадрат: \( x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2 \). 3. Перепишем неравенство в виде: \[ \frac{4x(x-1)(x+1)(2x-1)(2x+1)}{(x-2)^2} \le 0 \] 4. Определим область допустимых значений (ОДЗ): \( (x-2)^2 \neq 0 \), значит \( x \neq 2 \). 5. Найдем нули числителя: \( x = 0 \), \( x = 1 \), \( x = -1 \), \( x = 0,5 \), \( x = -0,5 \). 6. Применим метод интервалов. Отметим точки на числовой прямой. Точка \( x = 2 \) выколотая, остальные закрашенные. Так как знаменатель в квадрате, при переходе через \( x = 2 \) знак выражения не меняется. Расставим знаки на интервалах: - На \( (2; +\infty) \): \( + \) - На \( (1; 2) \): \( + \) - На \( [0,5; 1] \): \( - \) - На \( [0; 0,5] \): \( + \) - На \( [-0,5; 0] \): \( - \) - На \( [-1; -0,5] \): \( + \) - На \( (-\infty; -1] \): \( - \) Нам нужны интервалы, где выражение \( \le 0 \). Ответ: \( x \in (-\infty; -1] \cup [-0,5; 0] \cup [0,5; 1] \). Задание № 5. Найдите область определения функции: \[ y = \sqrt{\frac{x}{x^2 + 8x - 20}} \] Решение: Область определения функции задается условием, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а знаменатель не равен нулю: \[ \frac{x}{x^2 + 8x - 20} \ge 0 \] 1. Найдем корни знаменателя \( x^2 + 8x - 20 = 0 \). По теореме Виета: \( x_1 = -10 \), \( x_2 = 2 \). Значит, \( x^2 + 8x - 20 = (x + 10)(x - 2) \). 2. Перепишем неравенство: \[ \frac{x}{(x + 10)(x - 2)} \ge 0 \] 3. Применим метод интервалов. Отметим точки на прямой: \( x = -10 \) (выколотая), \( x = 0 \) (закрашенная), \( x = 2 \) (выколотая). Расставим знаки: - На \( (2; +\infty) \): \( + \) - На \( [0; 2) \): \( - \) - На \( (-10; 0] \): \( + \) - На \( (-\infty; -10) \): \( - \) Выбираем интервалы со знаком \( + \). Ответ: \( D(y) = (-10; 0] \cup (2; +\infty) \).