Решение задач по геометрии: равносторонние и равнобедренные треугольники

Ниже представлены решения задач по геометрии с ваших скриншотов. Задание 1. Сколько на рисунке равносторонних треугольников? Равносторонний треугольник — это треугольник, у которого все три стороны равны. На чертеже такие треугольники помечаются одинаковыми штрихами на всех трёх сторонах. На рисунке только один треугольник (слева посередине) имеет штрихи на всех трёх сторонах. У треугольника сверху справа помечены только две стороны (он равнобедренный), а у треугольника снизу справа — две стороны и прямой угол. Ответ: 1 Задание 2. Периметр равнобедренного треугольника равен 133, а его боковая сторона в 3 раза больше, чем основание. Найди стороны. Пусть основание треугольника равно \(x\). Тогда боковая сторона равна \(3x\). Так как треугольник равнобедренный, у него две боковые стороны по \(3x\). Периметр — это сумма всех сторон: \[x + 3x + 3x = 133\] \[7x = 133\] \[x = 133 : 7 = 19\] Основание равно 19. Боковая сторона: \(19 \cdot 3 = 57\). Стороны треугольника: 19, 57, 57. Ответ: 19, 57, 57 Задание 3. Какова длина боковых сторон \(MK\) и \(NK\)? 1) Рассмотрим треугольник \(MNL\). Сумма углов треугольника равна \(180^\circ\). Угол \(LMN = 180^\circ - (60^\circ + 60^\circ) = 60^\circ\). Значит, \(\triangle MNL\) — равносторонний. Его периметр 306 см, значит сторона \(MN = 306 : 3 = 102\) см. 2) В равнобедренном треугольнике \(MNK\) сторона \(MN\) является основанием, а \(MK\) и \(NK\) — боковые стороны. Периметр \(MNK = 422\) см. \[MK + NK + MN = 422\] Так как \(MK = NK\): \[2 \cdot MK + 102 = 422\] \[2 \cdot MK = 320\] \[MK = 160\] Ответ: 160 Задание 4. Чему равна биссектриса \(KR\)? Дано: \(P_{MNK} = 48\) см, \(P_{KRN} = 370\) мм = 37 см. В равнобедренном треугольнике биссектриса \(KR\), проведенная к основанию, является также медианой. Значит, \(RN = \frac{1}{2} NM\). Периметр \(MNK\): \(2 \cdot KN + NM = 48\). Поделим на 2: \(KN + RN = 24\). Периметр \(KRN\): \(KN + RN + KR = 37\). Подставим сумму \((KN + RN) = 24\): \[24 + KR = 37\] \[KR = 37 - 24 = 13\] Ответ: 13 Задание 5. Определи углы и сторону \(SL\). 1) В равнобедренном \(\triangle SWL\) углы при основании равны: \(\angle WSL = \angle WLS = 81^\circ\). 2) \(\angle WSA = \angle WSL - \angle SWA = 81^\circ - 9^\circ = 72^\circ\). 3) Биссектриса \(WA\) делит угол \(W\). Угол \(W = 180^\circ - (81^\circ + 81^\circ) = 18^\circ\). Тогда \(\angle AWL = 18^\circ : 2 = 9^\circ\). 4) В \(\triangle SWA\) углы \(\angle SWA = 9^\circ\) и \(\angle ASW = 9^\circ\) (по условию и расчету). Значит, \(\triangle SWA\) — равнобедренный, \(SA = WA\). Но это не дает \(SL\). Заметим, что в \(\triangle AWL\) углы: \(\angle AWL = 9^\circ\), \(\angle ALW = 81^\circ\). Тогда \(\angle WAL = 180 - (9+81) = 90^\circ\). В равнобедренном треугольнике высота является медианой, значит \(SA = AL = 3\) см 6 мм. \(SL = 2 \cdot SA = 7\) см 2 мм. Ответ: \(\angle AWL = 9^\circ\), \(\angle WSA = 72^\circ\), \(SL = 7\) см 2 мм. Задание 6. Найди значения углов 1, 2, 3 и 4. Пусть \(\angle 1 = x\). 1) \(\triangle NMT\) равнобедренный (\(NT=MT\)), значит \(\angle NMT = \angle 1 = x\). Тогда \(\angle 2 = \angle NMK - x\). 2) Внешний угол \(\triangle NMT\) равен \(\angle 3 = \angle 1 + \angle NMT = 2x\). 3) \(\triangle TMK\) равнобедренный (\(MT=KM\)), значит \(\angle 4 = \angle 3 = 2x\). 4) В \(\triangle MNK\) (\(MN=NK\)) углы при основании равны: \(\angle NMK = \angle 4 = 2x\). 5) Сумма углов \(\triangle MNK\): \(x + 2x + 2x = 180^\circ \Rightarrow 5x = 180^\circ \Rightarrow x = 36^\circ\). \(\angle 1 = 36^\circ\). \(\angle 3 = 2 \cdot 36 = 72^\circ\). \(\angle 4 = 72^\circ\). \(\angle 2 = \angle NMK - \angle NMT = 72^\circ - 36^\circ = 36^\circ\). Ответ: \(\angle 1 = 36^\circ, \angle 2 = 36^\circ, \angle 3 = 72^\circ, \angle 4 = 72^\circ\)