Решим задачу пошагово.
Задача:
Дано распределение выборки:
| \(x_i\) |
1 |
4 |
6 |
| \(n_i\) |
10 |
15 |
25 |
Эмпирическая функция по данному распределению:
\[
F^*(x) =
\begin{cases}
a, & x \le 1 \\
0,2, & 1 < x \le 4 \\
0,5, & 4 < x \le 6 \\
1, & x > 6
\end{cases}
\]
Тогда значение \(a\) равно...
Решение:
Шаг 1: Понимание эмпирической функции распределения
Эмпирическая функция распределения \(F^*(x)\) показывает долю наблюдений в выборке, которые меньше или равны \(x\).
Она определяется по формуле:
\[
F^*(x) = \frac{n_x}{n}
\]
где \(n_x\) — количество наблюдений, значения которых меньше или равны \(x\), а \(n\) — общий объем выборки.
Шаг 2: Вычисление общего объема выборки \(n\)
Общий объем выборки \(n\) — это сумма всех частот \(n_i\).
\[
n = \sum n_i = 10 + 15 + 25 = 50
\]
Шаг 3: Определение значения \(a\)
Согласно определению эмпирической функции распределения, для любого \(x\), меньшего или равного наименьшему значению в выборке, функция должна быть равна 0.
В нашей выборке наименьшее значение \(x_i\) равно 1.
По условию задачи, для \(x \le 1\), эмпирическая функция \(F^*(x)\) равна \(a\).
Поскольку нет наблюдений, которые были бы строго меньше 1, и значение 1 является наименьшим в выборке, то для \(x < 1\) количество наблюдений, меньших или равных \(x\), равно 0.
Следовательно, для \(x < 1\), \(F^*(x) = \frac{0}{n} = 0\).
Поскольку функция \(F^*(x)\) определена как \(a\) для \(x \le 1\), это означает, что \(a\) должно быть равно 0.
Давайте проверим это, построив эмпирическую функцию распределения по данным:
Для \(x \le 1\): \(F^*(x) = 0\), так как нет значений в выборке, которые были бы меньше 1.
Для \(1 < x \le 4\): \(F^*(x) = \frac{\text{количество значений } \le x}{n} = \frac{n_1}{n} = \frac{10}{50} = 0,2\). Это совпадает с данным в условии.
Для \(4 < x \le 6\): \(F^*(x) = \frac{n_1 + n_2}{n} = \frac{10 + 15}{50} = \frac{25}{50} = 0,5\). Это совпадает с данным в условии.
Для \(x > 6\): \(F^*(x) = \frac{n_1 + n_2 + n_3}{n} = \frac{10 + 15 + 25}{50} = \frac{50}{50} = 1\). Это совпадает с данным в условии.
Таким образом, значение \(a\) соответствует значению эмпирической функции для \(x \le 1\), которое равно 0.
Ответ:
Значение \(a\) равно 0.
