Вот решение задач, оформленное так, чтобы было удобно переписать в тетрадь школьнику.
Задача 1
Восьмиклассник Миша изучал условия плавания льдины в воде. На середину плоской льдины толщиной \(H = 60\) см, плавающей в воде, он поставил маленький медный кубик, в результате чего глубина погружения льдины увеличивается на \(\Delta h = 0,5\) см. Чему станет равна глубина \(H_п\) погружения этой льдины, если на её середину вместо медного кубика Миша поставил серебряный кубик с вдвое большей стороной? Плотность льда \(\rho_л = 900\) кг/м\(^3\), плотность воды \(\rho_в = 1000\) кг/м\(^3\), плотность меди \(\rho_м = 8900\) кг/м\(^3\), плотность серебра \(\rho_с = 10500\) кг/м\(^3\). Температура воды и льда \(0\) °С.
Дано:
Толщина льдины \(H = 60\) см \( = 0,6\) м
Увеличение глубины погружения при постановке медного кубика \(\Delta h = 0,5\) см \( = 0,005\) м
Плотность льда \(\rho_л = 900\) кг/м\(^3\)
Плотность воды \(\rho_в = 1000\) кг/м\(^3\)
Плотность меди \(\rho_м = 8900\) кг/м\(^3\)
Плотность серебра \(\rho_с = 10500\) кг/м\(^3\)
Температура воды и льда \(0\) °С
Найти:
Глубина погружения льдины с серебряным кубиком \(H_п\)
Решение:
1. Обозначим площадь льдины \(S\).
Изначально льдина плавает, поэтому сила тяжести льдины равна силе Архимеда:
\[m_л g = \rho_в g S h_0\]
где \(m_л\) – масса льдины, \(h_0\) – начальная глубина погружения.
Масса льдины \(m_л = \rho_л S H\).
Тогда \[\rho_л S H g = \rho_в g S h_0\]
\[\rho_л H = \rho_в h_0\]
\[h_0 = \frac{\rho_л}{\rho_в} H\]
\[h_0 = \frac{900 \text{ кг/м}^3}{1000 \text{ кг/м}^3} \cdot 0,6 \text{ м} = 0,9 \cdot 0,6 \text{ м} = 0,54 \text{ м}\]
2. Когда на льдину поставили медный кубик, глубина погружения увеличилась на \(\Delta h\).
Пусть масса медного кубика \(m_м\).
Тогда \[(m_л + m_м) g = \rho_в g S (h_0 + \Delta h)\]
\[m_л + m_м = \rho_в S (h_0 + \Delta h)\]
Вычтем из этого уравнения уравнение для плавающей льдины:
\[m_м = \rho_в S (h_0 + \Delta h) - \rho_в S h_0\]
\[m_м = \rho_в S \Delta h\]
Из этого уравнения можно найти произведение \(S \Delta h\), которое нам понадобится позже.
\[S \Delta h = \frac{m_м}{\rho_в}\]
Мы знаем \(\Delta h = 0,005\) м.
\[m_м = \rho_в S \cdot 0,005 \text{ м}\]
3. Теперь на льдину поставили серебряный кубик с вдвое большей стороной, чем медный.
Пусть сторона медного кубика \(a_м\). Тогда его объем \(V_м = a_м^3\).
Масса медного кубика \(m_м = \rho_м V_м = \rho_м a_м^3\).
Сторона серебряного кубика \(a_с = 2 a_м\).
Объем серебряного кубика \(V_с = a_с^3 = (2 a_м)^3 = 8 a_м^3 = 8 V_м\).
Масса серебряного кубика \(m_с = \rho_с V_с = \rho_с (8 V_м)\).
Мы знаем, что \(V_м = \frac{m_м}{\rho_м}\).
Значит, \(m_с = \rho_с \cdot 8 \cdot \frac{m_м}{\rho_м}\).
Подставим значения:
\[m_с = 10500 \text{ кг/м}^3 \cdot 8 \cdot \frac{m_м}{8900 \text{ кг/м}^3} = \frac{10500 \cdot 8}{8900} m_м \approx 9,438 m_м\]
4. Пусть новая глубина погружения льдины с серебряным кубиком будет \(H_п\).
Тогда \[(m_л + m_с) g = \rho_в g S H_п\]
\[m_л + m_с = \rho_в S H_п\]
Мы знаем, что \(m_л = \rho_в S h_0\).
Значит, \[\rho_в S h_0 + m_с = \rho_в S H_п\]
\[H_п = h_0 + \frac{m_с}{\rho_в S}\]
Мы знаем, что \(m_м = \rho_в S \Delta h\), откуда \(\rho_в S = \frac{m_м}{\Delta h}\).
Подставим это в выражение для \(H_п\):
\[H_п = h_0 + \frac{m_с}{m_м / \Delta h} = h_0 + \frac{m_с}{m_м} \Delta h\]
Теперь подставим значение \(\frac{m_с}{m_м}\):
\[\frac{m_с}{m_м} = \frac{10500 \cdot 8}{8900} = \frac{84000}{8900} \approx 9,438\]
\[H_п = 0,54 \text{ м} + 9,438 \cdot 0,005 \text{ м}\]
\[H_п = 0,54 \text{ м} + 0,04719 \text{ м}\]
\[H_п \approx 0,58719 \text{ м}\]
Округлим до разумного количества знаков после запятой, например, до миллиметров:
\[H_п \approx 0,587 \text{ м} = 58,7 \text{ см}\]
Ответ:
Глубина погружения льдины с серебряным кубиком станет примерно \(58,7\) см.
Задача 3
Сосуды, частично заполненные ртутью, над которой находится воздух, сообщаются трубками. Левый верхний сосуд и верхняя трубка открыты в атмосферу. Ртуть по трубкам не перетекает. Найдите давление воздуха в точке \(A\), ответ выразите в мм рт. ст. Определите высоту \(L\) столба ртути в верхней трубке. Высота \(h = 5\) см. Атмосферное давление \(p_0 = 760\) мм рт. ст.
Дано:
Высота \(h = 5\) см
Атмосферное давление \(p_0 = 760\) мм рт. ст.
Из рисунка:
Высота столба ртути в правом сосуде над уровнем в левом нижнем сосуде \(3h\).
Высота столба ртути в левом верхнем сосуде над уровнем в левом нижнем сосуде \(L\).
Точка \(A\) находится на уровне верхней поверхности ртути в правом сосуде.
Найти:
Давление воздуха в точке \(A\), \(p_A\)
Высота \(L\)
Решение:
1. Определим давление воздуха в точке \(A\).
Левый верхний сосуд открыт в атмосферу. Уровень ртути в нем находится на высоте \(L\) над уровнем ртути в левом нижнем сосуде.
Давление на уровне ртути в левом нижнем сосуде (обозначим его \(p_1\)) можно выразить через атмосферное давление и высоту столба ртути \(L\):
\[p_1 = p_0 + \rho_{рт} g L\]
где \(\rho_{рт}\) – плотность ртути, \(g\) – ускорение свободного падения.
Рассмотрим правый сосуд. В нем над ртутью находится воздух, давление которого мы ищем (\(p_A\)).
Уровень ртути в правом сосуде находится на высоте \(3h\) над уровнем ртути в левом нижнем сосуде.
Давление на уровне ртути в левом нижнем сосуде также можно выразить через давление \(p_A\) и высоту столба ртути \(3h\):
\[p_1 = p_A + \rho_{рт} g (3h)\]
Приравняем два выражения для \(p_1\):
\[p_0 + \rho_{рт} g L = p_A + \rho_{рт} g (3h)\]
Это уравнение содержит две неизвестные: \(p_A\) и \(L\). Нам нужно найти еще одно соотношение.
Рассмотрим верхнюю трубку, соединяющую левый верхний сосуд с правым.
Левый верхний сосуд открыт в атмосферу. Уровень ртути в нем находится на высоте \(L\) над уровнем ртути в левом нижнем сосуде.
В верхней трубке ртуть не перетекает, что означает, что давление воздуха над ртутью в правом сосуде (\(p_A\)) уравновешивает атмосферное давление \(p_0\) и столб ртути в верхней трубке.
На рисунке видно, что уровень ртути в левом верхнем сосуде находится на высоте \(L\) от нижнего уровня, а уровень ртути в правом сосуде находится на высоте \(3h\) от нижнего уровня.
Высота столба ртути в верхней трубке, которая уравновешивает разность давлений, равна разнице уровней ртути в левом верхнем сосуде и в правом сосуде.
Из рисунка видно, что верхний уровень ртути в левом сосуде находится на высоте \(L\) от нижнего уровня, а верхний уровень ртути в правом сосуде находится на высоте \(3h\) от нижнего уровня.
Давление в точке \(A\) (над ртутью в правом сосуде) и атмосферное давление \(p_0\) (над ртутью в левом сосуде) связаны разницей высот столбов ртути.
Уровень ртути в левом верхнем сосуде выше, чем уровень ртути в правом сосуде.
Разница высот уровней ртути в верхней части системы: \(L - 3h\).
Тогда:
\[p_A = p_0 - \rho_{рт} g (L - 3h)\]
Это уравнение также содержит \(L\).
Давайте внимательнее посмотрим на рисунок.
Левый верхний сосуд открыт в атмосферу. Давление на поверхности ртути в нем равно \(p_0\).
Правый сосуд содержит воздух с давлением \(p_A\).
Уровень ртути в левом верхнем сосуде находится на высоте \(L\) от некоторого базового уровня (нижний уровень ртути в левом нижнем сосуде).
Уровень ртути в правом сосуде находится на высоте \(3h\) от того же базового уровня.
Из рисунка видно, что уровень ртути в левом верхнем сосуде выше, чем уровень ртути в правом сосуде.
Разница высот столбов ртути, которая уравновешивает разность давлений \(p_0\) и \(p_A\), равна \(L - 3h\).
Поскольку \(p_0\) действует на более высокий столб ртути, а \(p_A\) на более низкий, то \(p_A\) должно быть меньше \(p_0\).
\[p_A = p_0 - \rho_{рт} g (L - 3h)\]
Это выражение для давления в точке \(A\).
Теперь нам нужно найти \(L\).
Рассмотрим нижнюю часть системы.
Давление на уровне ртути в левом нижнем сосуде: \(p_0 + \rho_{рт} g L\).
Давление на уровне ртути в правом нижнем сосуде: \(p_A + \rho_{рт} g (3h)\).
Эти давления должны быть равны, если сосуды сообщаются на этом уровне и ртуть не перетекает.
\[p_0 + \rho_{рт} g L = p_A + \rho_{рт} g (3h)\]
Подставим выражение для \(p_A\):
\[p_0 + \rho_{рт} g L = (p_0 - \rho_{рт} g (L - 3h)) + \rho_{рт} g (3h)\]
\[p_0 + \rho_{рт} g L = p_0 - \rho_{рт} g L + \rho_{рт} g (3h) + \rho_{рт} g (3h)\]
\[\rho_{рт} g L = - \rho_{рт} g L + 2 \rho_{рт} g (3h)\]
Разделим все на \(\rho_{рт} g\):
\[L = -L + 6h\]
\[2L = 6h\]
\[L = 3h\]
Теперь, когда мы знаем \(L = 3h\), мы можем найти \(p_A\).
\[p_A = p_0 - \rho_{рт} g (L - 3h)\]
Подставим \(L = 3h\):
\[p_A = p_0 - \rho_{рт} g (3h - 3h)\]
\[p_A = p_0 - \rho_{рт} g \cdot 0\]
\[p_A = p_0\]
Это означает, что давление воздуха в точке \(A\) равно атмосферному давлению.
Давайте проверим это. Если \(p_A = p_0\), то из уравнения \(p_0 + \rho_{рт} g L = p_A + \rho_{рт} g (3h)\) следует:
\[p_0 + \rho_{рт} g L = p_0 + \rho_{рт} g (3h)\]
\[L = 3h\]
Это согласуется с нашим результатом.
Значит, давление воздуха в точке \(A\) равно атмосферному давлению.
\[p_A = 760 \text{ мм рт. ст.}\]
Высота \(L\) равна \(3h\).
\[L = 3 \cdot 5 \text{ см} = 15 \text{ см}\]
Ответ:
Давление воздуха в точке \(A\) равно \(760\) мм рт. ст.
Высота \(L\) равна \(15\) см.
