Решение задачи 8.17: Удельная теплоемкость смеси азота и водяного пара

Задача № 8.17 Дано: \(m_1 = 3\) кг (азот \(N_2\)) \(m_2 = 1\) кг (водяной пар \(H_2O\)) \(M_1 = 28 \cdot 10^{-3}\) кг/моль (молярная масса азота) \(M_2 = 18 \cdot 10^{-3}\) кг/моль (молярная масса водяного пара) \(i_1 = 5\) (число степеней свободы для двухатомного газа \(N_2\)) \(i_2 = 6\) (число степеней свободы для многоатомного газа \(H_2O\)) \(R = 8,31\) Дж/(моль\(\cdot\)К) (универсальная газовая постоянная) Найти: \(c_V\) — ? \(c_p\) — ? Решение: Удельная теплоемкость смеси при постоянном объеме \(c_V\) определяется как отношение полной теплоемкости смеси к ее массе: \[c_V = \frac{C_{V1} + C_{V2}}{m_1 + m_2}\] где \(C_{V1}\) и \(C_{V2}\) — теплоемкости компонентов при постоянном объеме. Теплоемкость каждого газа выражается через количество вещества: \[C_{V1} = \frac{m_1}{M_1} \cdot \frac{i_1}{2} R\] \[C_{V2} = \frac{m_2}{M_2} \cdot \frac{i_2}{2} R\] Тогда формула для \(c_V\) примет вид: \[c_V = \frac{\frac{m_1}{M_1} \cdot \frac{i_1}{2} R + \frac{m_2}{M_2} \cdot \frac{i_2}{2} R}{m_1 + m_2}\] Подставим значения: \[c_V = \frac{\frac{3}{28 \cdot 10^{-3}} \cdot \frac{5}{2} \cdot 8,31 + \frac{1}{18 \cdot 10^{-3}} \cdot \frac{6}{2} \cdot 8,31}{3 + 1}\] \[c_V = \frac{2225,89 + 1385}{4} \approx 902,7 \text{ Дж/(кг}\cdot\text{К)}\] Удельная теплоемкость смеси при постоянном давлении \(c_p\) находится аналогично, используя \(i+2\) вместо \(i\): \[c_p = \frac{\frac{m_1}{M_1} \cdot \frac{i_1+2}{2} R + \frac{m_2}{M_2} \cdot \frac{i_2+2}{2} R}{m_1 + m_2}\] Для азота \(i_1+2 = 7\), для пара \(i_2+2 = 8\). Подставим значения: \[c_p = \frac{\frac{3}{28 \cdot 10^{-3}} \cdot \frac{7}{2} \cdot 8,31 + \frac{1}{18 \cdot 10^{-3}} \cdot \frac{8}{2} \cdot 8,31}{4}\] \[c_p = \frac{3116,25 + 1846,67}{4} \approx 1240,7 \text{ Дж/(кг}\cdot\text{К)}\] Ответ: \(c_V \approx 902,7\) Дж/(кг\(\cdot\)К), \(c_p \approx 1240,7\) Дж/(кг\(\cdot\)К).