Решение неравенства x² - 49 < 0 методом интервалов

Решение неравенства методом интервалов. Дано неравенство: \[ x^2 - 49 < 0 \] 1. Разложим левую часть неравенства на множители, используя формулу разности квадратов \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \): \[ (x - 7)(x + 7) < 0 \] 2. Найдем корни соответствующего уравнения: \[ (x - 7)(x + 7) = 0 \] \[ x_1 = 7, \quad x_2 = -7 \] 3. Отметим полученные точки на числовой прямой. Так как неравенство строгое (знак \( < \)), точки будут выколотыми (пустыми). Эти точки разделяют прямую на три интервала: \[ (-\infty; -7), \quad (-7; 7), \quad (7; +\infty) \] 4. Определим знаки выражения \( (x - 7)(x + 7) \) на каждом интервале: - Для интервала \( (7; +\infty) \): возьмем \( x = 10 \), тогда \( (10-7)(10+7) = 3 \cdot 17 = 51 > 0 \). Знак «+». - Для интервала \( (-7; 7) \): возьмем \( x = 0 \), тогда \( (0-7)(0+7) = -7 \cdot 7 = -49 < 0 \). Знак «-». - Для интервала \( (-\infty; -7) \): возьмем \( x = -10 \), тогда \( (-10-7)(-10+7) = -17 \cdot (-3) = 51 > 0 \). Знак «+». 5. Нам нужно найти значения \( x \), при которых выражение меньше нуля (знак «-»). Это соответствует интервалу: \[ (-7; 7) \] Ответ: первый вариант, \( (-7; 7) \).