Решение задачи №9: Определение деформации троса

Задача №9 Дано: \(m = 2,0 \text{ т} = 2000 \text{ кг}\) \(k = 1,0 \text{ МН/м} = 1,0 \cdot 10^6 \text{ Н/м}\) \(\mu = 0,10\) \(g = 10 \text{ м/с}^2\) Найти: \(\Delta x\) — ? Решение: 1. Определим ускорение автомобиля \(a\) по графику зависимости скорости от времени \(v(t)\). Ускорение равно тангенсу угла наклона прямой: \[a = \frac{\Delta v}{\Delta t}\] Возьмем точку на графике: при \(t = 40 \text{ с}\) скорость \(v = 20 \text{ м/с}\). \[a = \frac{20 \text{ м/с} - 0 \text{ м/с}}{40 \text{ с} - 0 \text{ с}} = 0,5 \text{ м/с}^2\] 2. Запишем второй закон Ньютона для автомобиля в проекции на направление движения: \[F_{упр} - F_{тр} = m \cdot a\] Откуда сила упругости троса: \[F_{упр} = m \cdot a + F_{тр}\] 3. Сила трения скольжения (сопротивления) при движении по горизонтальной поверхности: \[F_{тр} = \mu \cdot m \cdot g\] 4. Подставим выражение для силы трения в уравнение для силы упругости: \[F_{упр} = m \cdot a + \mu \cdot m \cdot g = m \cdot (a + \mu \cdot g)\] 5. По закону Гука сила упругости равна: \[F_{упр} = k \cdot \Delta x\] Следовательно: \[k \cdot \Delta x = m \cdot (a + \mu \cdot g)\] 6. Выразим и вычислим удлинение троса \(\Delta x\): \[\Delta x = \frac{m \cdot (a + \mu \cdot g)}{k}\] \[\Delta x = \frac{2000 \cdot (0,5 + 0,10 \cdot 10)}{1,0 \cdot 10^6} = \frac{2000 \cdot (0,5 + 1)}{10^6} = \frac{2000 \cdot 1,5}{10^6} = \frac{3000}{10^6} = 0,003 \text{ м}\] 7. Переведем результат в миллиметры: \(0,003 \text{ м} = 3 \text{ мм}\) Ответ: 3 мм.