Решение неравенства методом интервалов

Ниже представлено решение задач с листа, оформленное для удобного переписывания в тетрадь. Задание 1. Решить неравенство методом интервалов \[ \frac{(3x - 1)^2}{(2x + 4)(1 - x)} \le 0 \] Решение: 1. Найдем корни числителя и знаменателя: Числитель: \( (3x - 1)^2 = 0 \Rightarrow 3x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \) (корень четной кратности, при переходе через него знак не меняется). Знаменатель: \( 2x + 4 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2 \); \( 1 - x \neq 0 \Rightarrow x \neq 1 \). 2. Отметим точки на числовой прямой. Точки из знаменателя всегда выколотые, точка из числителя закрашенная (так как неравенство нестрогое). 3. Определим знаки на интервалах: На интервале \( (1; +\infty) \): числитель \( (+) \), знаменатель \( (+) \cdot (-) = (-) \). Итоговый знак \( (-) \). На интервале \( (\frac{1}{3}; 1) \): знак \( (+) \). На интервале \( (-2; \frac{1}{3}) \): знак \( (+) \). На интервале \( (-\infty; -2) \): знак \( (-) \). 4. Выбираем интервалы, где выражение \( \le 0 \). Также не забываем про изолированную точку \( x = \frac{1}{3} \), в которой выражение равно нулю. Ответ: \( x \in (-\infty; -2) \cup \{ \frac{1}{3} \} \cup (1; +\infty) \) Задание 3. Исследование функции по графику 1. Область определения \( D(y) \): \( x \in (x_{min}; x_{max}] \) (судя по графику, от крайней левой выколотой точки до крайней правой закрашенной). 2. Область значений \( E(y) \): \( y \in [y_{min}; y_{max}] \) (от самой нижней точки графика до самой верхней). 3. Нули функции: точки пересечения с осью \( OX \). На графике их две. 4. Промежутки монотонности: Функция убывает на интервале от начала до точки минимума. Функция возрастает от точки минимума до конца области определения. 5. Ограниченность и экстремумы: Функция ограничена и сверху, и снизу. \( y_{наим} \) — ордината самой низкой точки (минимум). \( y_{наиб} \) — ордината самой высокой точки. 6. Экстремумы: точка минимума (дно "впадины"). 7. Обратимость: функция не является обратимой на всей области определения, так как одному значению \( y \) могут соответствовать два значения \( x \). 8. Четность: функция ни чётная, ни нечётная (график не симметричен относительно оси \( OY \) или начала координат). Задание 4. Вычисления со степенями и корнями А) Вычислить: \[ 2^{2 - 3\sqrt{3}} \cdot 8^{\sqrt{3}} = 2^{2 - 3\sqrt{3}} \cdot (2^3)^{\sqrt{3}} = 2^{2 - 3\sqrt{3}} \cdot 2^{3\sqrt{3}} = 2^{2 - 3\sqrt{3} + 3\sqrt{3}} = 2^2 = 4 \] Ответ: 4 Б) Сократить дробь: \[ \frac{\sqrt{m} - \sqrt{n}}{m^{1/4} + n^{1/4}} \] Заметим, что \( \sqrt{m} = (m^{1/4})^2 \) и \( \sqrt{n} = (n^{1/4})^2 \). Применим формулу разности квадратов в числителе: \[ \frac{(m^{1/4})^2 - (n^{1/4})^2}{m^{1/4} + n^{1/4}} = \frac{(m^{1/4} - n^{1/4})(m^{1/4} + n^{1/4})}{m^{1/4} + n^{1/4}} = m^{1/4} - n^{1/4} \] Ответ: \( m^{1/4} - n^{1/4} \) (или \( \sqrt[4]{m} - \sqrt[4]{n} \))