Решение задач по тригонометрии

Ниже представлено решение задач с доски, оформленное для записи в тетрадь. Задача №1. Найти значения тригонометрических функций. Для решения используем основное тригонометрическое тождество: \[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \] а) Дано: \( \cos \alpha = -\frac{1}{3} \). Найти: \( \sin \alpha \). \[ \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \left(-\frac{1}{3}\right)^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} \] \[ \sin \alpha = \pm \sqrt{\frac{8}{9}} = \pm \frac{2\sqrt{2}}{3} \] б) Дано: \( \sin \alpha = \frac{2}{5} \). Найти: \( \cos \alpha \). \[ \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \left(\frac{2}{5}\right)^2 = 1 - \frac{4}{25} = \frac{21}{25} \] \[ \cos \alpha = \pm \sqrt{\frac{21}{25}} = \pm \frac{\sqrt{21}}{5} \] в) Дано: \( \cos \alpha = \frac{1}{2} \). Найти: \( \text{tg} \alpha \). Сначала найдем \( \sin \alpha \): \[ \sin^2 \alpha = 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \Rightarrow \sin \alpha = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \] Теперь найдем тангенс по формуле \( \text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \): \[ \text{tg} \alpha = \frac{\pm \sqrt{3}/2}{1/2} = \pm \sqrt{3} \] Задача №2. Лежат ли на единичной окружности точки? Точка лежит на единичной окружности, если сумма квадратов её координат равна 1: \( x^2 + y^2 = 1 \). а) \( A\left(\frac{1}{4}; \frac{\sqrt{15}}{4}\right) \) \[ \left(\frac{1}{4}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{15}}{4}\right)^2 = \frac{1}{16} + \frac{15}{16} = \frac{16}{16} = 1 \] Ответ: Да, лежит. б) \( B(7; 3) \) \[ 7^2 + 3^2 = 49 + 9 = 58 \neq 1 \] Ответ: Нет, не лежит. в) \( C\left(\frac{1}{2}; \frac{1}{2}\right) \) \[ \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = 0,5 \neq 1 \] Ответ: Нет, не лежит.