Решение задачи cos²α - sin²α⋅tg²α при sinα = 2/3

Ниже представлено решение задачи №4 с правой части доски, оформленное для записи в тетрадь. Задача №4. Найти значение выражения: \[ \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha \cdot \text{tg}^2 \alpha = \] если \( \sin \alpha = \frac{2}{3} \). Решение: 1. Сначала найдем значение \( \cos^2 \alpha \), используя основное тригонометрическое тождество \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \): \[ \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha \] \[ \cos^2 \alpha = 1 - \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9} \] 2. Теперь найдем значение \( \text{tg}^2 \alpha \). По определению \( \text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \), следовательно: \[ \text{tg}^2 \alpha = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} \] \[ \text{tg}^2 \alpha = \frac{4/9}{5/9} = \frac{4}{5} \] 3. Подставим все найденные значения в исходное выражение: \[ \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha \cdot \text{tg}^2 \alpha = \frac{5}{9} - \frac{4}{9} \cdot \frac{4}{5} \] \[ \frac{5}{9} - \frac{16}{45} \] 4. Приведем дроби к общему знаменателю 45: \[ \frac{5 \cdot 5}{45} - \frac{16}{45} = \frac{25 - 16}{45} = \frac{9}{45} \] 5. Сократим полученную дробь на 9: \[ \frac{9}{45} = \frac{1}{5} = 0,2 \] Ответ: 0,2.