Решение задачи по теме "Функции"

Контрольная работа по теме «Функции» Вариант 1. Задание 1. Найдите область определения \(D(f)\): \(f(x) = \ln \sqrt{x^2 - 8x + 15}\). Решение: Для существования функции необходимо выполнение двух условий: 1) Выражение под корнем должно быть неотрицательным: \(x^2 - 8x + 15 \ge 0\). 2) Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля: \(\sqrt{x^2 - 8x + 15} > 0\). Объединяя эти условия, получаем: \[x^2 - 8x + 15 > 0\] Найдем корни уравнения \(x^2 - 8x + 15 = 0\) по теореме Виета: \[x_1 + x_2 = 8\] \[x_1 \cdot x_2 = 15\] Отсюда \(x_1 = 3\), \(x_2 = 5\). Методом интервалов определяем знаки: на промежутках \((-\infty; 3)\) и \((5; +\infty)\) выражение положительно. Ответ: \(D(f) = (-\infty; 3) \cup (5; +\infty)\). Задание 2. Дана функция \(y = x^2\). Постройте график функции \(y = (x - 4)^2 + 3\). Описание построения: График функции \(y = (x - 4)^2 + 3\) получается из параболы \(y = x^2\) путем следующих преобразований: 1) Сдвиг вдоль оси \(Ox\) на 4 единицы вправо. 2) Сдвиг вдоль оси \(Oy\) на 3 единицы вверх. Вершина новой параболы находится в точке \((4; 3)\). (Для тетради: нарисуйте координатную плоскость, отметьте вершину \((4; 3)\) и проведите стандартную параболу: точки \((3; 4), (5; 4), (2; 7), (6; 7)\)). Задание 3. Даны функции \(f(x) = 3x^2 + 2x + 1\), \(\varphi(x) = 2x - 1\). Найти \(f(\varphi(x))\), \(\varphi(f(x))\), \(f(\varphi(-2))\), \(\varphi(f(3))\). Решение: 1) \(f(\varphi(x)) = 3(2x - 1)^2 + 2(2x - 1) + 1 = 3(4x^2 - 4x + 1) + 4x - 2 + 1 = 12x^2 - 12x + 3 + 4x - 1 = 12x^2 - 8x + 2\). 2) \(\varphi(f(x)) = 2(3x^2 + 2x + 1) - 1 = 6x^2 + 4x + 2 - 1 = 6x^2 + 4x + 1\). 3) \(f(\varphi(-2))\): Сначала \(\varphi(-2) = 2(-2) - 1 = -5\). Затем \(f(-5) = 3(-5)^2 + 2(-5) + 1 = 3 \cdot 25 - 10 + 1 = 75 - 10 + 1 = 66\). 4) \(\varphi(f(3))\): Сначала \(f(3) = 3(3^2) + 2(3) + 1 = 27 + 6 + 1 = 34\). Затем \(\varphi(34) = 2(34) - 1 = 68 - 1 = 67\). Задание 4. Исследовать на чётность/нечётность функции: а) \(f(x) = \frac{\sin x}{x^3 - 1}\) Проверим \(f(-x)\): \[f(-x) = \frac{\sin(-x)}{(-x)^3 - 1} = \frac{-\sin x}{-x^3 - 1} = \frac{\sin x}{x^3 + 1}\] \(f(-x) \neq f(x)\) и \(f(-x) \neq -f(x)\). Функция общего вида. б) \(f(x) = 4x^6 - x^2\) Проверим \(f(-x)\): \[f(-x) = 4(-x)^6 - (-x)^2 = 4x^6 - x^2 = f(x)\] Функция чётная. в) \(f(x) = x(5 - x^2)\) Проверим \(f(-x)\): \[f(-x) = -x(5 - (-x)^2) = -x(5 - x^2) = -f(x)\] Функция нечётная. Задание 5. Решить графически уравнение: \(4^x = 5 - x\). Решение: Построим в одной системе координат графики функций \(y_1 = 4^x\) (показательная функция, проходит через точки \((0; 1), (1; 4), (-1; 0.25)\)) и \(y_2 = 5 - x\) (прямая, проходит через точки \((0; 5), (5; 0)\)). Графики пересекаются в одной точке. При \(x = 1\): \(y_1 = 4^1 = 4\) \(y_2 = 5 - 1 = 4\) Точка пересечения имеет абсциссу \(x = 1\). Ответ: \(x = 1\).