Нахождение длины отрезка BD в равностороннем треугольнике

Решение задачи: Дано: Треугольник \(ABC\) — равносторонний. Сторона \(AB = BC = AC = 5\). Точка \(D\) лежит на стороне \(AC\) и делит её в отношении \(2:1\). Найти: длину отрезка \(BD\) (обозначен как \(a\) в условии). 1. Найдем длины отрезков \(AD\) и \(DC\). Так как сторона \(AC = 5\) разделена в отношении \(2:1\), то всего частей \(2 + 1 = 3\). Длина одной части: \(\frac{5}{3}\). Тогда отрезок \(AD = 2 \cdot \frac{5}{3} = \frac{10}{3}\), а отрезок \(DC = 1 \cdot \frac{5}{3} = \frac{5}{3}\). 2. Рассмотрим треугольник \(BCD\). В равностороннем треугольнике все углы равны \(60^\circ\), значит \(\angle C = 60^\circ\). Нам известны две стороны этого треугольника и угол между ними: \(BC = 5\) \(DC = \frac{5}{3}\) \(\angle C = 60^\circ\) 3. Применим теорему косинусов для нахождения стороны \(BD\) (искомое \(a\)): \[a^2 = BC^2 + DC^2 - 2 \cdot BC \cdot DC \cdot \cos(60^\circ)\] 4. Подставим значения (\(\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}\)): \[a^2 = 5^2 + \left(\frac{5}{3}\right)^2 - 2 \cdot 5 \cdot \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{2}\] \[a^2 = 25 + \frac{25}{9} - \frac{25}{3}\] 5. Приведем к общему знаменателю 9: \[a^2 = \frac{225}{9} + \frac{25}{9} - \frac{75}{9}\] \[a^2 = \frac{225 + 25 - 75}{9}\] \[a^2 = \frac{175}{9}\] 6. Извлечем корень: \[a = \sqrt{\frac{175}{9}} = \frac{\sqrt{25 \cdot 7}}{3} = \frac{5\sqrt{7}}{3}\] Ответ: \(a = \frac{5\sqrt{7}}{3}\)